5.2 Gravitacijska sila i gravitacijsko polje

Akceleracija u gravitacijskom polju

Gravitacijsko polje Zemlje jest radijalno. Strelicama su označene silnice (zamišljene crte) gravitacijskog polja koje svojom gustoćom prikazuju jakost gravitacijskog polja u nekom dijelu prostora.

O čemu ovisi akceleracija sile teže na površini planeta? 

Na tijelo mase $m$ koje se nalazi na površini Zemlje djeluje sila teža iznosa

$F_g=m·g$ 

okomito prema središtu Zemlje (Temeljni zakon gibanja – drugi Newtonov zakon).

Sila teža je, zapravo, gravitacijska sila kojom Zemlja privlači sva tijela na površini ili iznad površine. Prema trećem Newtonovu zakonu (treći Newtonov zakon), svako od tih tijela privlači Zemlju silom jednakog iznosa, ali suprotne orijentacije.

Silu težu možemo izraziti s pomoću općeg zakona gravitacije:

$F_g=G·\frac{m·M_Z}{{R_Z}^2}$

pri čemu je $R_Z$ udaljenost tijela na površini Zemlje od njezina središta, tj. polumjer Zemlje.

Uvrštavanjem izraza

$F_g=m·g$ 

u lijevu stranu izraza

$F_g=G·\frac{m·M_Z}{{R_Z}^2}$ 

dobijemo

$m·g=G·\frac{m·M_Z}{{R_Z}^2}$ 

te

$g=G·\frac{M_Z}{{R_Z}^2},$

pri čemu je $g$ akceleracija tijela mase $m$ u gravitacijskom polju Zemlje, mase $M_Z$ na udaljenosti  $R_Z$ (polumjer Zemlje). ​

Iz gornjeg izraza za akceleraciju sile teže uočavamo da $g$ ovisi o udaljenosti tijela od središta Zemlje te možemo jednostavno objasniti zašto je akceleracija sile teže na ekvatoru manja od akceleracije sile teže na polu, s obzirom na to da je Zemlja geoid, tj. spljoštena na polovima, a izbočena na ekvatoru.

$g_E=\mathrm{9,78}\mathrm{\text{m}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}$ 

$g_P=\mathrm{9,83}\mathrm{\text{m}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}$ 

Iskoristimo sljedeću interakciju i pogledajmo kako težina tijela ovisi o položaju na Zemlji. 

Primjer 1.

Koristeći se iznosom akceleracije sile teže $g$ na površini Zemlje i primjenjujući opći zakon gravitacije, izračunajte masu Zemlje.

Rješenje

---

Ako se tijelo nalazi na visini $h$ iznad površine Zemlje, ovisnost akceleracije sile teže o visini možemo matematički predočiti izrazom ​

$g_h=G·\frac{M_Z}{{\left(R_Z+h\right)}^2}$

odnosno

$g_h=g·{\left(\frac{R_Z}{R_Z+h}\right)}^2.$

Primjer 2.

Međunarodna svemirska postaja (ISS) giba se na visini od $400\mathrm{km}$  iznad površine Zemlje. Izračunajte $g.$  ​

Rješenje

---

Iznos gravitacijskog polja na površini Zemlje polumjera $R_Z$ jest $g.$ Koliko iznosi gravitacijsko polje na udaljenosti od 10 Zemljinih polumjera od središta Zemlje?

$\frac{g}{{10}^2}$  ​

$\frac{g}{10}$ 

$\sqrt{10·g}$  

$10·g$  

null

null

Težina tijela koje miruje na površini nekog nebeskog tijela

Tijelo mase $m$ koje miruje na površini nebeskog tijela ima težinu

$m·g$

pri čemu je $g$ jakost gravitacijskog polja na mjestu na kojem se tijelo nalazi. ​

Na površini nebeskog tijela mase $M$ i polumjera $R$ vrijedi

$g=G·\frac{M}{R^2}.$

S pomoću sljedeće interakcije istražite i usporedite težinu tijela na Zemlji, Mjesecu i Marsu.

Gibanje satelita

Satelit je nebesko tijelo koje se giba u orbiti oko planeta, zvijezde ili nekog drugog masivnog tijela. Prirodne satelite nazivamo još i mjesecima, pratiocima ili trabantima. Primjeri prirodnih satelita jesu Mjesec, planeti i kometi.

Umjetni sateliti napravljeni su i lansirani u orbitu Zemlje ili nekog drugog planeta radi različitih namjena, komunikacije, navigacije, prognoziranja vremena, znanstvenih istraživanja i drugih potreba.

Satelitom se smatra i Međunarodna svemirska postaja (ISS), kao i svemirske letjelice s ljudskom posadom ako su u orbiti.  

Orbite satelita razlikuju se ovisno o namjeni i klasificiraju se na različite načine. Poznate su ove vrste orbita: niska Zemljina orbita, polarna orbita i geostacionarna orbita.

Dakle, ako tijelo koje se izbaci s površine Zemlje ostane u Zemljinoj orbiti, ono postaje njezin umjetni satelit.

Ako za orbitu pretpostavimo kružnicu, na satelit koji se giba na određenoj visini stalno djeluje centripetalna sila koja ga vuče prema središtu u smjeru polumjera kruženja. O tome smo govorili u jedinici Jednoliko gibanje po kružnici.

U ovom je primjeru centripetalna sila koja djeluje na satelit gravitacijska sila pa vrijedi:

$F_{cp}=F$

$\frac{m·v^2}{R_Z+h}=G·\frac{m·M_Z}{{\left(R_Z+h\right)}^2},$

pri čemu je:

• $m$ masa satelita
  
• $M_Z$ masa Zemlje
  
• $h$ visina na kojoj se giba satelit
• $R_Z$ polumjer Zemlje i
• $G$ gravitacijska konstanta.
  

Ako navedenu jednakost pomnožimo sa sljedećim:

$\frac{R_Z+h}{m},$

dobijemo:

$v^2=G·\frac{M_Z}{R_Z+h}$

odnosno

$v=\sqrt{G·\frac{M_Z}{R_Z+h}}.$

Iz izraza vidimo da brzina kojom se satelit giba po kružnoj orbiti ne ovisi o masi satelita, već samo o udaljenosti od površine Zemlje, tj. visine na kojoj se giba. Brzina satelita smanjuje se s povećanjem udaljenosti od središta Zemlje do satelita, tj. s povećanjem visine.

Primjer 3.

Srednja udaljenost između Mjeseca i Zemlje iznosi $384400\mathrm{\text{km}}$ . Kolika je brzina i period Mjeseca u njegovu gibanju oko Zemlje? Masa Zemlje iznosi $\mathrm{5,97}·{10}^{24}\mathrm{\text{kg}}.$ ​

Rješenje

---

Pogledajmo još jedanput animaciju u kojoj je prikazano gibanje geostacionarnog satelita oko Zemlje i prisjetimo se da je centripetalna sila gravitacijska sila između satelita i Zemlje. Obratite pozornost na smjer i orijentaciju obodne brzine, centripetalne sile i centripetalne akceleracije.  

Prva kozmička brzina

Uz pretpostavku da se tijelo giba neposredno iznad površine Zemlje, uvjet kruženja satelita može se pojednostavniti te vrijedi:

$m·g=\frac{m·v^2}{R_Z},$

odakle dobijemo brzinu kojom se treba satelit izbaciti da bi jednoliko kružio u blizini površine Zemlje.

$v=\sqrt{g·R_Z}$ 

$v=\mathrm{7,9}\mathrm{\text{km}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$ 

Tu brzinu zovemo prva kozmička brzina.

Izbacuje li se satelit manjom brzinom od prve kozmičke brzine, neće biti zadovoljen uvjet kruženja (jednakost centripetalne i gravitacijske sile) jer će gravitacijska sila biti veća od potrebne centripetalne te će se satelit vratiti na Zemlju.

Druga kozmička brzina

Tijelo mase $m,$ na površini planeta mase $M$ i polumjera $R,$ ima gravitacijsku potencijalnu energiju u odnosu na središte planeta (Gravitacijska potencijalna energija) čiji je iznos:​

$E_{gp}=G·\frac{m·M}{R}.$

Da bi tijelo napustilo planet, treba dobiti brzinu $v,$ takvu da kinetička energija tijela

$E_k=\frac{m·v^2}{2}$ 

bude veća od gravitacijske potencijalne energije.

Ako izjednačimo gravitacijsku potencijalnu i kinetičku energiju

$E_{gp}=E_k$ 

$G·\frac{m·M}{R}=\frac{m·v^2}{2}$ 

 i pomnožimo s

$\frac{2}{m}$

dobijemo:

$v^2=2·G·\frac{M}{R}$

odnosno

$v=\sqrt{2·G·\frac{M}{R}},$

pri čemu je $v$ brzina oslobađanja ili druga kozmička brzina.

Druga kozmička brzina povezana je s prvom sljedećim izrazom:

$v=\sqrt{2}·v_{1.}$

Za Zemlju ta brzina iznosi $\mathrm{\text{11,2}}{\mathrm{kms}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}.$

Drugom kozmičkom brzinom sa Zemlje se lansiraju svemirske letjelice (međuplanetarne sonde) na putu k Mjesecu i planetima Sunčeva sustava.

Ponovimo o kozmičkim brzinama uz animaciju koja prikazuje zamišljeni Newtonov pokus ispaljivanja topovske kugle.

Morske mijene: plima i oseka

Povezani sadržaji

Učili ste iz Geografije u osnovnoj školi o periodičnim pojavama plime i oseke na Zemlji, a na Biologiji ste spominjali njihov utjecaj na žive organizme.

Plima i oseka pojavljuju se zbog gravitacijskog djelovanja Mjeseca i Sunca na Zemlju te zbog vrtnje (rotacije) Zemlje. Plima je dizanje, a oseka opadanje razine mora i oceana. Plima se javlja istovremeno na suprotnim dijelovima Zemlje. Zbog Zemljine rotacije područja plime i oseke izmjenjuju se svakih $6$ sati.

Na slici vidimo istodobno djelovanje Mjeseca i Sunca na morske mijene i to: za vrijeme mladog i punog Mjeseca, tzv. sizigija, kada se Sunčevo i Mjesečevo plimno djelovanje zbrajaju, te za vrijeme prve i posljednje četvrti (kvadrature), kada je ukupno djelovanje Mjeseca i Sunca najslabije.

Prikaz morskih mijena s obzirom na položaj Mjeseca i Sunca

Na slici vidimo da je utjecaj na plimu i oseku najjači u vrijeme mladog i punog Mjeseca jer je njegov utjecaj pojačan utjecajem položaja Sunca s obzirom na Zemlju. Naime, Sunce, Zemlja i Mjesec tada se nalaze u ravnini te je zbog toga utjecaj na plimu i oseku najjači.

Zadatak 1.

Razmislite zbog čega su morske mijene zbog djelovanja Mjeseca oko $\mathrm{2,2}$  puta veće od mijena zbog djelovanja Sunca. Što je uzrok pojavi morskih mijena? ​

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

• Izvedite izraz za gravitacijsko polje s pomoću gibanja Mjeseca oko Zemlje.
  
• Odredite točku u prostoru u kojoj je rezultantno gravitacijsko polje između dvaju tijela jednako $0\mathrm{\text{m}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}.$
  
• Razmislite zašto se dijelovi Saturnova prstena ne mogu gravitacijski formirati (skupiti) u jedan ili više satelita.
• Napravite proračun temeljen na općem zakonu gravitacije i pokažite da se plima istovremeno javlja na suprotnim stranama Zemlje, odnosno da plimna sila ima isti iznos, ali suprotnu orijentaciju u točki Zemljine površine koja je okrenuta prema Mjesecu i njezinoj antipodnoj (suprotnoj) točki. Zanemarite gravitacijski utjecaj Sunca na Zemlju te pretpostavite da je samo Mjesec uzrok plime i oseke.