1.1 Eksperiment i mjerenja

O mjerenju

Mjerenje je postupak kojim se pri eksperimentalnom istraživanju neke veličine brojčani rezultat i njegova pogreška uspoređuju s utvrđenom jedinicom za tu veličinu.

Fizičke veličine mjerimo. Mjerenjem određujemo vrijednost neke veličine. I u svakodnevnom životu mjerimo. Na primjer, kada pomažemo u kuhinji pri pripremi jela i slastica, iščitavamo redoslijedom popis namirnica te im mjerenjem određujemo masu, volumen ili brojnost. Odlučili smo pripremiti muffine prema originalnom receptu. Međutim, taj jednostavni recept pobudio je u nama znatiželju i privukao našu pozornost. Proučimo recept.

Primjer 1.

Da bismo ispekli kolač, potrebno je pećnicu zagrijati na temperaturu od $400°\mathrm{F}.$ Budući da je naša pećnica europska, moramo pretvoriti Fahrenheitove stupnjeve u Celzijeve stupnjeve. Učinimo to s pomoću formule za preračunavanje iz Fahrenheitovih stupnjeva u Celzijeve stupnjeve.

$t(°\mathrm{C})=\frac{5}{9}\left(t\right(°\mathrm{F})-32)$ 

Rješenje

---

Primjer 2.

Planiramo putovanje u Sjedinjene Američke Države u posjet rođacima koji žive u New Yorku. Iščekujući putovanje, obavljamo posljednje pripreme za put. Jedna vrlo važna priprema jest spremiti i ponijeti prikladnu odjeću i obuću, prilagođenu vremenskim uvjetima. Na mrežnoj stranici Državnoga hidrometeorološkog zavoda pronalazimo vremensku prognozu za grad New York. Međutim, temperature su izražene u Fahrenheitovim stupnjevima te ih s pomoću formule moramo preračunati. Primjenom izraza za preračunavanje Fahrenheitovih stupnjeva u Celzijeve stupnjeve preračunajte temperaturu koja se očekuje u New Yorku.

Mjerenje je postupak u kojem nepoznatu mjeru uspoređujemo s mjerom nekoga drugog predmeta koji još nazivamo etalon; u našem je slučaju to širina gumice. Usporediti duljinu nekog predmeta s duljinom etalona znači odrediti koliko je puta duljina predmeta manja ili veća od duljine etalona. Mjerenje je postupak određivanja vrijednosti neke mjerene veličine.

Neka nekoliko vaših prijateljica i prijatelja iz razreda svojim gumicama izmjeri duljinu bilježnice koju ste sami odredili. Usporedite rezultate mjerenja. Rezultati se vjerojatno razlikuju.

Što je uzrok različitim dobivenim rezultatima?

Svatko ima drukčiju gumicu, što znači da ima i različit etalon ili osobnu mjeru. To je uzrok zbog kojeg nije moguće uspoređivati rezultate mjerenja bez uspoređivanja širina gumica.

Radi uspoređivanja rezultata mjerenja vrlo je važno dogovoriti se o standardu koji će biti jednak za sve. Tako je uspostavljen Međunarodni sustav mjernih jedinica, skraćeno SI (Système International), koji je utemeljen na metričkome mjernom sustavu kojemu su u osnovi metar i kilogram. Definicije mjernih jedinica mijenjale su se u povijesti, što je znatno otežavalo i kompliciralo iskazivanje odnosa među fizičkim veličinama.

TABLICA 1
Osnovne fizičke veličine i mjerne jedinice SI-ja s pripadnim oznakama

Fizička veličina	Oznaka fizičke veličine	Naziv mjerne jedinice	Oznaka mjerne jedinice
duljina	$l$	metar	$\mathrm{m}$
masa	$m$	kilogram	$\mathrm{kg}$
vrijeme	$t$	sekunda	$\mathrm{s}$
jakost električne struje	$I$	amper	$\mathrm{A}$
termodinamička temperatura	$T$	kelvin	$\mathrm{K}$
količina (množina) tvari	$n$	mol	$\mathrm{mol}$
svjetlosna jakost	$I$	kandela	$\mathrm{cd}$

Sve druge fizičke veličine, uz osnovne, nazivamo izvedene veličine i one se mjere uporabom izvedenih mjernih jedinica. Određenim izvedenim mjernim jedinicama dani su posebni nazivi koji omogućuju da se u sažetom obliku izraze kombinacije osnovnih mjernih jedinica. Postoje i iznimno dopuštene jedinice izvan SI-ja, s kojima ćemo se susretati tijekom daljnjeg usvajanja znanja.

Fizičke veličine vrlo često imaju ili vrlo male ili vrlo velike dimenzije pa se ispred mjernih jedinica stavljaju predmetci. U sljedećoj su tablici dani predmetci za manje jedinice od osnovne i za veće jedinice od osnovne.

TABLICA 2
Predmetci mjernih jedinica u SI-ju

jota	$\mathrm{Y}$	${10}^{24}$	$1000000000000000000000000$
zeta	$\mathrm{Z}$	${10}^{21}$	$1000000000000000000000$
eksa	$\mathrm{E}$	${10}^{18}$	$1000000000000000000$
peta	$\mathrm{P}$	${10}^{15}$	$1000000000000000$
tera	$\mathrm{T}$	${10}^{12}$	$1000000000000$
giga	$\mathrm{G}$	${10}^9$	$1000000000$
mega	$\mathrm{M}$	${10}^6$	$1000000$
kilo	$\mathrm{k}$	${10}^3$	$1000$
hekto	$\mathrm{h}$	${10}^2$	$100$
deka	$\mathrm{da}$	$10$	$10$
deci	$\mathrm{d}$	${10}^{-1}$	$\mathrm{0,1}$
centi	$\mathrm{c}$	${10}^{-2}$	$\mathrm{0,01}$
mili	$\mathrm{m}$	${10}^{-3}$	$\mathrm{0,001}$
mikro	$\mathrm{\mu }$	${10}^{-6}$	$\mathrm{0,000}001$
nano	$\mathrm{n}$	${10}^{-9}$	$\mathrm{0,000}000001$
piko	$\mathrm{p}$	${10}^{-12}$	$\mathrm{0,000}000000001$
femto	$\mathrm{f}$	${10}^{-15}$	$\mathrm{0,000}000000000001$
ato	$\mathrm{a}$	${10}^{-18}$	$\mathrm{0,000}000000000000001$
zepto	$\mathrm{z}$	${10}^{-21}$	$\mathrm{0,000}000000000000000001$
jokto	$\mathrm{y}$	${10}^{-24}$	$\mathrm{0,000}000000000000000000001$

Pogreške pri mjerenju

U svakome mjerenju koje provodimo mogu se pojaviti pogreške. Pogreške pri mjerenju dijelimo na: sistematske, grube i slučajne.

Sistematske pogreške

Sistematske pogreške nastaju kao posljedica neispravnosti mjernih instrumenata, pogrešnog izbora metode mjerenja, pogrešno provođenog mjerenja i slično. Te vrste pogrešaka mogu se smanjiti i ukloniti iz mjerenja. Primjerice, mjerimo masu šećera koja nam je potrebna za pripremu kolača. Prije nego što stavimo određenu masu šećera, neopterećena vaga pokazuje $100\mathrm{g},$ a kada stavimo šećer, vaga pokazuje $600\mathrm{g}.$ Uzrok pogreške koja je nastala pri navedenome mjerenju mase šećera loše je umjeren (baždaren) mjerni instrument, vaga.

Grube pogreške

Grube pogreške najčešće su uzrokovane neispravnošću mjernog instrumenta ili nepažnjom pri očitavanju podataka mjerenja. Grube se pogreške mogu i moraju izbjeći. Primjerice, s pomoću indikatora vrpce za mjerenje tjelesne temperature mlađoj sestri ili bratu provjeravamo temperaturu postavljanjem vrpce na čelo. Izmjerili smo tjelesnu temperaturu od $\mathrm{98,6}°\mathrm{C}!$

Na temelju zapisanog rezultata mjerenja od $\mathrm{98,6}°\mathrm{C}$ možemo zaključiti da mjerenje tjelesne temperature osobe ne može biti realno, nego da je riječ o gruboj pogrešci.

Slučajne pogreške

Sam naziv slučajne pogreške upućuje na pogreške koje nastaju pri mjerenju zbog nesavršenosti opažatelja, mjernog instrumenta i okoline te ih nije moguće potpuno izbjeći. Primjerice, mjerimo svoju visinu i angažiramo nekoliko osoba da nas mjeri. Mjerenje se obavlja metrom koji na sebi ima milimetarsku podjelu. Prva osoba koja nas je izmjerila ustvrdila je da je naša visina $\mathrm{1,721}\mathrm{m},$ druga je osoba ustvrdila da je izmjerena visina $\mathrm{1,720}\mathrm{m},$ treća je osoba izmjerila $\mathrm{1,719}\mathrm{m},$ a četvrta $\mathrm{1,721}\mathrm{m}.$ Dakle, iz priloženih se mjerenja uočava rasipanje rezultata mjerenja u određenom intervalu.

Račun pogreške

Određivanje srednje vrijednosti rezultata mjerenja

Provedimo račun pogreške i način zapisivanja na primjeru mjerenja temperature hladne vode iz slavine. U deset jednakih plastičnih čaša nalijemo jednake količine hladne vode. U isto vrijeme u svaku od njih stavimo termometar, pričekamo barem pet minuta (ako mjerimo analognim termometrom) i dobijemo sljedeće rezultate mjerenja...

Izraz za određivanje srednje vrijednosti rezultata mjerenja temperature glasi:

$\begin{array}{l}\bar{t}=\frac{t_1+t_2+t_3+t_4+t_5+t_6+t_7+t_8+t_9+t_{10}}{10}\end{array},$

što primijenjeno na naš primjer daje rezultat:

$\begin{array}{l}\bar{t}=\frac{\mathrm{20,0}+\mathrm{20,3}+\mathrm{20,4}+\mathrm{20,4}+\mathrm{20,1}+\mathrm{20,3}+\mathrm{20,3}+\mathrm{20,0}+\mathrm{20,1}+\mathrm{20,3}}{10}=\mathrm{20,2}\mathrm{\text{℃}}\end{array}.$

Povezani sadržaji

Srednju ste vrijednost naučili računati u 7. razredu u Matematici.

Izračunavanje maksimalne apsolutne pogreške

Na kraju svakog mjerenja dobivene je rezultate potrebno primjereno zapisati. Kako bismo to učinili, moramo, osim srednje vrijednosti rezultata mjerenja, izračunati i maksimalnu apsolutnu pogrešku. Primjenom relacije

$△x_i=\left|x_i-\bar{x}\right|,$ $i=1,2,3,...,\mathrm{N}$ 

možemo izračunati apsolutnu pogrešku.

Apsolutnih pogrešaka ima onoliko koliko ima i mjerenja. U našem primjeru mjerenja temperature vode ima ih $10.$ Kada izračunamo sve apsolutne pogreške, odabiremo najveću. Najveću izračunatu pogrešku nazivamo maksimalna apsolutna pogreška te ju označavamo s $△x_{max}$

I na kraju, rezultat mjerenja zapisujemo: $x=\bar{x}\pm ∆x_{max}$

Dovršimo primjer:

$∆t_1=\left|t_1-\bar{t}\right|=\left|\mathrm{20,0}-\mathrm{20,2}\right|=\mathrm{0,2}\mathrm{°}\mathrm{C}$

$∆t_2=\left|t_2-\bar{t}\right|=\left|\mathrm{20,3}-\mathrm{20,2}\right|=\mathrm{0,1}\mathrm{°}\mathrm{C}$

$∆t_3=\left|t_3-\bar{t}\right|=\left|\mathrm{20,4}-\mathrm{20,2}\right|=\mathrm{0,2}\mathrm{°}\mathrm{C}$

$∆t_4=\left|t_4-\bar{t}\right|=\left|\mathrm{20,4}-\mathrm{20,2}\right|=\mathrm{0,2}\mathrm{°}\mathrm{C}$

$∆t_5=\left|t_5-\bar{t}\right|=\left|\mathrm{20,1}-\mathrm{20,2}\right|=\mathrm{0,1}\mathrm{°}\mathrm{C}$

$∆t_6=\left|t_6-\bar{t}\right|=\left|\mathrm{20,3}-\mathrm{20,2}\right|=\mathrm{0,1}\mathrm{°}\mathrm{C}$

$∆t_7=\left|t_7-\bar{t}\right|=\left|\mathrm{20,3}-\mathrm{20,2}\right|=\mathrm{0,1}\mathrm{°}\mathrm{C}$

$∆t_8=\left|t_8-\bar{t}\right|=\left|\mathrm{20,0}-\mathrm{20,2}\right|=\mathrm{0,2}\mathrm{°}\mathrm{C}$

$∆t_9=\left|t_9-\bar{t}\right|=\left|\mathrm{20,1}-\mathrm{20,2}\right|=\mathrm{0,1}\mathrm{°}\mathrm{C}$

$∆t_{10}=\left|t_{10}-\bar{t}\right|=\left|\mathrm{20,3}-\mathrm{20,2}\right|=\mathrm{0,1}\mathrm{°}\mathrm{C}$

$∆t_{max}=\mathrm{0,2}\mathrm{°}\mathrm{C}$

Rezultat mjerenja zapisujemo

$t=\bar{t}\pm ∆t_{max}=\left(\begin{array}{lll}\mathrm{20,2}& \pm & \mathrm{0,2}\end{array}\right)\mathrm{°}\mathrm{C}$

Na temelju zapisanog rezultata mjerenja odaberite interval u kojem očekujete rezultate budućih mjerenja.

$\mathrm{20,0}°\mathrm{C}-\mathrm{20,4}°\mathrm{C}$

$\mathrm{20,1}°\mathrm{C}-\mathrm{20,4}°\mathrm{C}$

$\mathrm{20,3}°\mathrm{C}-20°\mathrm{C}$

$\mathrm{20,2}°\mathrm{C}-\mathrm{20,4}°\mathrm{C}$

null

null

Dopunite tablicu.

Kutak za znatiželjne

Na mrežnoj stranici trgovine želite naručiti tenisice koje vam se sviđaju, ali niste sigurni koji biste broj trebali naručiti. Sretni ste što ste na nastavi Fizike naučili kako se mjeri i određuje maksimalna apsolutna pogreška te vam određivanje veličine stopala i odabir veličine obuće nije problem.

a. U predviđenu tablicu upišite rezultate mjerenja duljine stopala.

b. Izračunajte srednju vrijednost rezultata mjerenja.

c. Izračunajte apsolutnu maksimalnu pogrešku mjerenja.

d. Napišite interval $(l_1,l_2)$ određen maksimalnom apsolutnom pogreškom.

$l_1=\stackrel{-}{l}+∆l_{max}$

$l_2 = \stackrel{-}{l}-\Delta l_{max}$

e. Zapišite rezultate obrade mjerenja.

S obzirom na izmjerenu vrijednost duljine stopala, odaberite broj tenisica koji ćete naručiti.

Kutak za znatiželjne