x
Učitavanje

2.7 Dijeljenje prirodnih brojeva

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Nina je za svoj rođendan donijela 72 kolačića kojima će počastiti cijeli razred i učiteljicu. Ako su u razredu 23 učenika, koliko će kolačića dobiti svaka osoba?

Makroni
Rozi makroni po kojima su razbacane maline.

Zadatak možemo riješiti tako da prvo podijelimo svakoj osobi po jedan kolač.

Broj učenika u razredu je 23 , a s učiteljicom ukupan broj osoba je 24 .

72 - 24 = 48

Tada bi nam ostalo još 48 kolača te bi svakoj osobi mogli podijeliti još jedan kolač.

48 - 24 = 24

Nakon što je svaka osoba dobila i drugi kolač, ostalo bi nam još 24 kolača te svaka osoba može dobiti i treći kolač.

24 - 24 = 0

Nakon toga više ne bi ostao ni jedan kolač.

Zadatak možemo riješiti i tako da uzastopno oduzimamo broj 24 od broja 72 i promatramo koliko puta to možemo učiniti.

Vidimo da je 72 - 24 - 24 - 24 = 0 te zaključujemo da je 72 : 24 = 3 .


Broj koji dijelimo naziva se djeljenik.

Broj s kojim dijelimo naziva se djelitelj.

Rezultat dijeljenja naziva se količnik ili kvocijent.

djeljenik : djelitelj = količnik (kvocijent)

Dijeljenje bez ostatka

Zadatak 1.

Za početak možeš ponoviti tablicu dijeljenja pomoću sljedećeg apleta.

Zadatak 2.

Prisjeti se veze množenja i dijeljenja pomoću sljedećih apleta.

Zadatak 3.

Sjećaš li se kako riješiti sljedeće zadatke?

  1. 572 : 572 =
    .

  2. 83 : 1 =
    .

  3. 2   540 : 10=
    .

  4. 5   000 : 100 =
    .

  5. 8   000 : 2   000 =
    .

  6. 800 : 200 =
    .

  7. 80 : 20 =
    .

  8. 8 : 2 =
    .
null
null

Podijelimo li neki prirodni broj s brojem 1 , broj se neće promijeniti.

Podijelimo li neki prirodni broj sa samim sobom, količnik je jednak 1 .

Pri dijeljenju broja dekadskom jedinicom, ako je moguće, zadatak možemo pojednostavniti kraćenjem istog broja nula na kraju djeljenika i djelitelja.

Primjer 1.

Izračunajmo.

a) 896 : 8

b) 1   638 : 7

c) 9   540 : 9

d) 16   056 : 8

a)

896 : 8
Pisano računanje 896 : 8

Govorimo:

8 podijeljeno s 8 je 1 ; 1 puta 8 je 8 ;

8 manje 8 je nula; dopisujemo 9 ;

9 podijeljeno s 8 je 1 ; 1 puta 8 je 8 ;

9 manje 8 je 1 ; dopisujemo 6

16 podijeljeno s 8 je 2 ; 2 puta 8 je 16 ;

16 manje 16 je nula.

896 : 8 = 112


b) Govorimo:

16 podijeljeno sa 7 je 2 ; 2 puta 7 je 14 ;

16 manje 14 je 2 ; dopisujemo 3 ;

23 podijeljeno sa 7 je 3 ; 3 puta 7 je 21 ;

23 manje 21 je 2 ; dopisujemo 8 ;

28 podijeljeno sa 7 je 4 ; 4 puta 7 je 28 ;

28 manje 28 je nula.

1   638 : 7 = 234

1 638 : 7
Pisano računanje 1 638 : 7

c) Govorimo:

9 podijeljeno s 9 je 1 ; 1 puta 9 je 9 ;

9 minus 9 je 0 ; dopisujemo 5 ;

5 podijeljeno s 9 je 0 ; 0 puta 9 je 0 ;

5 minus 0 je 5 ; dopisujemo 4 ;

54 podijeljeno s 9 je 6 ; 6 puta 9 je 54 ;

54 minus 54 je 0 ; dopisujemo 0 ;

0 podijeljeno s 9 je 0 ; 0 puta 0 je 0 ;

0 minus 0 je 0 .

9   540 : 9 = 1   060

9 540 : 9
Pisano računanje 9 540 : 9

d) Govorimo:

16 podijeljeno s 8 je 2 ; 2 puta 8 je 16 ;

16 minus 16 je 0 ; dopisujemo 0 ;

0 podijeljeno s 8 je 0 ; 0 puta 8 je 0 ;

0 minus 0 je 0 ; dopisujemo 5 ;

5 podijeljeno s 8 je 0 ; 0 puta 8 je 0 ;

5 minus 0 je 5 ; dopisujemo 6 ;

56 podijeljeno s 8 je 7 ; 7 puta 8 je 56 ;

56 minus 56 je 0 .

16   056 : 8 = 2   007

16 056 : 8
Pisano računanje 16 056 : 8

Primjer 2.

Izračunaj 3   120 : 12 koristeći se duljim postupkom.

3 120 : 12
Dijeljenje 3 120 : 12

Govorimo:

31 podijeljeno s 12 je 2 ; 2 puta 12 je 24 ; 31 manje 24 je 7

dopisujemo 2 ; 72 podijeljeno s 12 je 6 ; 6 puta 12 je 72 ; 72 manje 72 je 0

dopisujemo 0 ; 0 podijeljeno s 12 je 0 ; 0 puta 12 je 0 ; 0 manje 0 je 0

3   120 : 12 = 260


Primjer 3.

Izračunajmo 5   778 : 54 koristeći se kraćim postupkom.

5 778 : 54
Pisano računanje 5 778 : 54

Govorimo:

57 podijeljeno s 54 je 1 ; 1 puta 54 je 54 i do 57 je 3 ;

dopisujemo 7 ; 37 podijeljeno s 54 je 0 ; 0 puta 54 je 0 i do 37 je 37 ;

dopisujemo 8 ; 378  podijeljeno s 54 je 7 ; 7 puta 54 je 378  i do 378 je 0 .

5   778 : 54 = 107  


Primjer 4.

Izračunajmo: 2   438 : 106


Zadatak 4.

Poredaj po veličini počevši od najmanjeg količnika.

  • 1   904   :   34
  • 2   044   :   28
  • 2   232   :   36
null

Postupak:

1   904 : 34 = 56

2   232 : 36 = 62

2   044 : 28 = 73

Dijeljenje broja 0 i dijeljenje s nulom

Izračunajmo.

a) 0 : 26

b) 5 : 0

a) 0 : 26 = 0 jer je 0 · 26 = 0

b) 5 : 0 nema rješenja jer ne postoji broj kojim možemo pomnožiti broj 0 kako bismo dobili 5.  

Npr.

Ako napišemo 5 : 0 = 0 , tada bi moralo vrijediti da je 0 · 0 = 5 , a to nije točno.

Ako napišemo 5 : 0 = 5 , tada bi moralo vrijediti da je 5 · 0 = 5 , a to nije točno.

Ako napišemo 5 : 0 = 1 , tada bi moralo vrijediti da je 1 · 0 = 5 , a to nije točno.

Isti problem bi nam se javio za bilo koji količnik. Stoga kažemo da je dijeljenje s nulom neodređeno.


Zapamti! S nulom se ne dijeli!

Primijeti.  Dijeljenje nije asocijativno. Dijelimo redom slijeva nadesno.

Dijeljenje s ostatkom

Primjer 5.

Matilda priprema poklon-pakete s vrećicama lavande. U svaki poklon-paket stavlja po 3 vrećice lavande. Do sada je napunila 128 vrećica lavande. Koliko najviše poklon-paketa može složiti od napunjenih vrećica lavande? Koliko će vrećica lavande ostati nezapakirano u poklon-pakete?

128 : 3 = 42

    08

        2

Matilda može složiti 42 poklon-paketa. Dvije vrećice lavande ostat će nespakirane u pakete.


U prethodnom primjeru dobili smo ostatak, tj. dvije vrećice lavande ostale su nezapakirane. Takvo dijeljenje u kojem se pojavljuje ostatak naziva se dijeljenje s ostatkom. Broj 2 iz prethodnog primjera ostatak je pri dijeljenju, a broj 42  nepotpuni je količnik.

Provjerimo rezultat.

42 · 3 + 2 = 128  

Zadatak 5.

Dijeljenje možeš dodatno uvježbati pomoću sljedećeg apleta.

Primjena dijeljenja

Primjer 6.

Hrvoje je kupio perilicu rublja u iznosu od 3   120   kn na 12 rata bez kamata. Koliko će iznositi mjesečna rata otplate?

Iznos mjesečne rate iznosit će 260   kn .

Rata kredita
Pisano računanje rate kredita.

Zadatak 6.

Četiri prijatelja pizzu i sokove platila su 288   kn . Račun su podijelila na jednake dijelove. Koliko je platio svaki prijatelj?

288   :   4   =   72

  08

    0  

Svaki prijatelj platio je 72 kn.


Zadatak 7.

Pakiranje baterija sadrži 8 baterija. Učiteljica treba zamijeniti 116  baterija u kalkulatorima. Koliko najmanje pakiranja baterija treba kupiti?

116   :   8   =   14

  36

    4

Učiteljica treba kupiti najmanje 15 pakiranja baterija. Četrnaest pakiranja joj ne bi bilo dovoljno jer je 14 · 8 = 112 , a 112 < 114 .


...i na kraju

Morana je u matematičkom muzeju naišla na zanimljivu igru. Da bi osvojila bod, treba skočiti na sve brojeve koji bez ostatka dijele broj koji se nalazi na ekranu. Ona treba osvojiti 5  bodova da bi mogla otključati vrata sljedeće prostorije u igri. Pomozi Morani otvoriti vrata prostorije. U svakom od zadataka klikni na brojeve na koje Morana treba skočiti.

Povratak na vrh