x
Učitavanje

2.1 Prirodni brojevi

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Koliko je bojica u posudici za pribor?

Bojice
U čaši se nalaze nekoliko desetaka bojica, crni kalkulator, žuta kemijska olovka, plava kemijska olovka i ljubičasta kemijska olovka, i rozi blok papir.

U posudici za pribor je 20 bojica.


Prethodni zadatak riješili smo brojenjem. Brojeve kojima brojimo nazivamo prirodnim brojevima, a skup takvih brojeva nazivamo skupom prirodnih brojeva.

Zadatak 1.

Poveži odgovarajuće parove.

Ožujak ima
31 dan.
Tjedan ima
60 sekundi.
Dan ima
7 dana.
Godina ima
12 mjeseci.
Minuta ima
24 sata.
null
null

Zadatak povezivanja riješili smo koristeći se općepoznatim činjenicama vezanim uz brojeve. Ljudima su brojevi s vremenom postali izuzetno važni te danas jednostavno ne možemo ni zamisliti svijet bez brojeva.

A kako je sve počelo?

Vjeruje se da su se brojevi počeli koristiti iz potrebe i za opisivanje svijeta oko sebe.

Jedan od prvih dokaza brojenja i upotrebe brojeva je Ishango kost stara oko 20 000 godina. Kost je pronađena 1950. godine u tada belgijskoj koloniji Kongu. Duga je oko 10   cm  i u nju su urezane brojne crtice. Danas je izložena u Muzeju znanosti u Bruxellesu u Belgiji.

Ishango kost
Ishango kost

Zanimljivost

Narod Piraha u prašumi Amazone nema riječi za brojeve veće od dva te se koristi izrazima poput nešto ili nekoliko.

Skup prirodnih brojeva

Zanimljivost

Oznaka N skupa prirodnih brojeva dolazi od prvog slova latinske riječi naturalis što znači prirodan.

Prirodni brojevi

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N , a njegove elemente nazivamo prirodni brojevi.

N = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8 ,   9 ,   10 ,   11.. .  

Brojeve s obzirom na broj znamenaka dijelimo na jednoznamenkaste, dvoznamenkaste, troznamenkaste, četveroznamenkaste, peteroznamenkaste itd.

Zadatak 2.

Razvrstaj zadane brojeve prema broju znamenaka.

6   104

Jednoznamenkasti brojevi

Dvoznamenkasti brojevi

Troznamenkasti brojevi

Četveroznamenkasti brojevi

null
null

Parni brojevi djeljivi su s brojem 2 , tj. pri dijeljenju s brojem 2 nemaju ostatka. Parni brojevi završavaju znamenkama 0 , 2 , 4 , 6 ili 8 .

Neparni brojevi pri dijeljenju s brojem 2 imaju ostatak. Neparni brojevi završavaju znamenkama 1 , 3 , 5 ,   7 ili 9 .

Zadatak 3.

Razvrstaj brojeve na parne i neparne.

3

Parni brojevi

Neparni brojevi

null
null

Skup prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo elemenata. Najmanji element skupa prirodnih brojeva je broj 1 , a najveći ne postoji.

U skupu prirodnih brojeva svaki broj ima svog neposrednog sljedbenika. U skupu prirodnih brojeva svaki broj, osim broja 1 , ima svog neposrednog prethodnika.

Prisjeti se, neposredni prethodnik je broj koji je za jedan manji od zadanog broja, a neposredni sljedbenik je broj koji je za jedan veći od zadanog broja.

Skup prirodnih brojeva s nulom

Dodamo li skupu prirodnih brojeva broj 0 , dobivamo skup čiji su članovi 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ... Taj skup brojeva nazivamo skupom prirodnih brojeva s nulom.

N 0 = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 . . . .

Vennov dijagram N i N0
Vennovim dijagramom prikazan je skup N kao podskup skupa N0.

Zapisivanje brojeva

Brojeve zapisujemo brojkama. Znakove 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 i 9 nazivamo znamenkama dekadskog (desetinskog) brojevnog sustava. Njima zapisujemo sve brojke.

Brojeve 10 , 100 , 1   000 , 10   000 ... nazivamo dekadskim jedinicama, a naš brojevni sustav nazivamo dekadskim brojevnim sustavom.

Zanimljivost

Brojke kojima danas zapisujemo brojeve nazivaju se arapske brojke jer ih Europljani preuzeli od Arapa u srednjem vijeku.

Arapi su ove brojke preuzeli iz indijskog Brahmi sustava.

Zadatak 4.

Riješi sljedeća dva zadatka spajanja te razmisli što je različito u ovim načinima zapisivanja brojeva.

  1. Poveži odgovarajuće brojke.

    VII.
    7
    IX.
    9
    III.
    12
    XII.
    3
    null
  2. Poveži odgovarajuću brojku i brojevnu riječ.

    52
    trideset i sedam
    37
    dvadeset i pet
    703
    pedeset i dva
    25
    sedamsto tri
    null

Pri zapisivanju rimskih brojki značenje pojedine rimske znamenke nije ovisilo o tome gdje se ona nalazi dok je kod arapskih brojki vrijednost znamenke ovisila o mjestu na kojem se nalazi.

Mjesne vrijednosti

U dekadskom brojevnom sustavu svaka znamenka ima svoju mjesnu vrijednost odnosno poziciju. Takav sustav zovemo pozicijskim sustavom.

DEKADSKA MJESTA
MJESNE VRIJEDNOSTI
BROJA
ST
100   000
10 · 10 · 10 · 10 · 10
DT
10   000
10 · 10 · 10 · 10
T
1   000
10 · 10 · 10
S
100
10 · 10
D
10
10
J
1
 
Stotisućice Desettisućice    Tisućice       Stotice       Desetice       Jedinice   
BROJ 1 2 3 4 5 6

Ako pogledamo zapis nekog prirodnog broja, možemo primijetiti da ga možemo napisati kao zbroj umnožaka znamenaka i brojeva 1 , 10 , 100 , 1   000 ,   10   000 itd.

Primjerice, broj 2   345 možemo napisati kao

2   345 = 2 · 1   000 + 3 · 100 + 4 · 10 + 5 · 1

tj.

2   345 = 2 · 1   000 + 3 · 100 + 4 · 10 + 5.

Možemo reći da najdesniju znamenku u zapisu množimo s brojem 1 . Ostale znamenke kod višeznamenkastih brojeva množimo tako da idemo redom dalje s zdesna na lijevo i množimo brojevima 10 , 100 , 1   000 ,   10   000 itd.  Kažemo da je najdesnija znamenka znamenka jedinica, zatim lijevo od nje slijedi znamenka desetica, zatim stotica, zatim tisućica itd.

Dekadske jedinice ( 1 , 10 , 100 , 1   000 , 10   000  itd.) kraće zapisujemo

1   = 10 0 10   = 10 1 100   = 10 2 1   000   = 10 3 10   000 = 10 4 100   000   = 10 5  

itd.

Koristeći se kraćim zapisom dekadskih jedinica, broj 2   345 možemo zapisati

2   345 = 2 · 10 3 + 3 · 10 2 + 4 · 10 1 + 5 · 10 0 .

Broj 2   345 čitamo dvije tisuće tristo četrdeset (i) pet.

Primjer 1.

Napišimo u obliku prirodnog broja sljedeće brojeve.

  1. 7 · 1   000   +   4 · 100   +   2 · 10   +   3 · 1
  2. 9 · 10 5   +   3 · 10 4 + 6 · 10 3 + 5 · 10 2
  1. 7   423
  2. 936   500

Čitanje brojeva

1   jedan 10 0  
10   deset 10 1
100   sto 10 2
1   000  
tisuću 10 3
10   000  
deset tisuća 10 4
100   000  
sto tisuća
10 5
1   000   000  
milijun 10 6
10   000   000  
deset milijuna
10 7
100   000   000  
sto milijuna
10 8
1   000   000   000  
milijarda 10 9
1   000   000   000   000  
bilijun 10 12
1   000   000   000   000   000  
bilijarda 10 15

 ​

Zanimljivost

Više o čitanju velikih brojeva možete pronaći na mrežnim stranicama Hrvatske enciklopedije.

Zanimljivost

Gugol (engl. googol) je naziv za broj koji u svome dekadskom zapisu ima znamenku

1  koju slijedi sto nula, tj. broj  10 100 .

Ime mu je dao devetogodišnji dječak Milton Sirotta, nećak matematičara Edwarda Kasnera. Gugolpleks (engl. googolplex) je broj 10 g o o g o l .

Poznata tražilica Google dobila je svoje ime po netočno napisanom nazivu ovoga broja. Njezini su osnivači, Larry Page i Sergey Brin, 1997. godine birali naziv svoje tvrtke. U pretraživač slobodnih domena zabunom su upisali google umjesto googol. Domena je bila slobodna, a naziv im se svidio te su je odabrali za svoju tražilicu. Sjedište kompanije koje se nalazi u Kalifoniji nazvano je Googleplex.

Zaokruživanje prirodnih brojeva

Za potrebe praktičnog računanja ili za provjeru smislenosti rješenja nije uvijek potrebno precizno računanje. Dobivene vrijednosti tada zaokružujemo do najbliže desetice, stotice, tisućice itd. Pri tome se pridržavamo jednostavnih pravila.

Ako je znamenka koju ''zanemarujemo'' manja od 5 , početni dio broja ne mijenjamo, a preostale znamenke koje slijede pretvaramo u nule.

Ako je znamenka koju ''zanemarujemo'' veća ili jednaka 5 , znamenku koja joj prethodi povećavamo za 1 , a preostale znamenke koje slijede pretvaramo u nule.

Primjer 2.

Broj 19   862 zaokružimo na:

a) najbližu deseticu

b) najbližu stoticu

c) najbližu tisućicu

d) najbližu desettisućicu.

a) Znamenka jedinica zadanog broja je 2 , dakle početni dio broja ne mijenjamo, a preostale znamenke koje slijede pretvaramo u nule te možemo napisati 19   862 19   860 te čitamo 19   862   približno je  19   860 .

b) 19   862 19   900

c) 19   862 20   000

d) 19   862 20   000


Znak čitamo približno.

Zadatak 5.

Marko je pisano zbrojio brojeve 1   358 i 235  i dobio 3   708 . Andrea je odmah rekla da je pogriješio pri računu jer je trebao dobiti oko 1   600 . Što misliš kako je Andrea došla do te procjene? Objasni svoj odgovor. 

Andrea je brojeve zaokružila na najbližu stoticu te je dobila redom 1   400 i 200 .

Zaokružene brojeve je zbrojila i dobila 1   600 . Rješenje Markovog zadatka trebalo je biti oko 1   600 stoga je odmah znala da je Marko pogriješio pri računu. 


Zadatak 6.

U Večeri matematike 2016. sudjelovalo je ukupno 95   954 sudionika. U novinama je zabilježeno da je broj sudionika iznosio 100   000 . Kako su novine došle do te procjene? Što misliš, zašto je napisano 100   000 , a ne 95   954 ?

Novine su broj sudionika zaokružile na najbližu desettisućicu. Čitateljima je jednostavnije upamtiti broj 100   000 nego broj 95   954 .


Zadatak 7.

U Večeri matematike 2018. godine sudjelovalo je 105   160 osoba. Odluči na koju bi mjesnu vrijednost bilo smisleno zaokružiti broj sudionika ako pišeš novinski članak? Objasni svoj odgovor.

Broj sudionika najsmislenije bi bilo zaokružiti na najbližu tisućicu. Broj koji se dobije nije značajno različit od stvarnog broja, a jednostavnije je upamtiti podatak.


Zadatak 8.

Pomogni kornjači doći do salate i pri tome dodatno uvježbaj zaokruživanje prirodnog broja na najbližu deseticu i/ili najbližu stoticu.

...i na kraju

Istraži deset različitih zanimljivosti u kojima se spominju veliki brojevi. Napravi plakat u kojem ćeš ih predstaviti. Napiši sve brojeve kao brojke i kao brojevne riječi.

Ako želiš, možeš odigrati i sljedeću igru.

Povratak na vrh