1.5 Brojevni sustavi

Što ću naučiti?

analizirati način na koji računalo pohranjuje sve vrste podataka

Samostalno učenje

Procjena znanja

Sadržaj jedinice

Na početku...
...i na kraju
Procjena znanja

Na početku...

Kojim se znamenkama služe digitalni uređaji, a kojima ljudi? Tko upotrebljava više znamenaka u svakodnevnom radu? S koliko se znamenaka koriste digitalni uređaji, a s koliko, mi, ljudi?

Dekadski brojevni sustav

Mi, ljudi, upotrebljavamo $10$ znamenki $(0$ – $9)$ i njima tvorimo bezbroj brojeva. Zato se naš sustav naziva dekadski brojevni sustav i ima bazu $10 .$

Što mislite, zašto? Prisjetite se kako možemo rastaviti broj $813 .$ Imaju li sve tri znamenke jednaku vrijednost? Pokušajte se prisjetiti što ste pisali iznad tih znamenki? Jesu li to bile oznake J, D, S, T… Koje one imaju značenje?

Koje brojeve prikazuje tablica?

$1000$	$100$	$10$	$1$
		$3$	$5$
	$6$	$2$	$8$
$7$	$4$	$0$	$9$

53

826

7 409

628

64

7

740

35

Pomoć:

Točna su 3 odgovora!

null

Dakle, svaka znamenka broja ima svoju težinsku vrijednost $(1,$ $10,$ $100,$ $1 000$ itd.).

Kolekcija zadataka #1

Koja znamenka uvijek ima najmanju težinsku vrijednost? Prva s

desne

strane.

null

Koliko puta je svaka sljedeća težinska vrijednost veća od prethodne gledajući s desna na lijevo?

10

2

5

ista je

null

Smeđokosi dječak okružen nizom sljedećih brojeva: 77, 109, 54, 1, 32, 4 016, 0, 11, 47 812, 803, 904226. — Dekadski sustav

Promotrimo kakva je situacija kod računala! Znamo da računalo koristi samo dvije znamenke: $0$ i $1 .$ Pomoću njih zapisuje sve podatke i naredbe. Prisjetite se da u dekadskome brojevnom sustavu na raspolaganju imamo $10$ znamenki za zapisivanje brojeva i kažemo da taj sustav ima bazu $10 .$

Binarni brojevni sustav

Budući da računalo koristi samo dvije znamenke za zapisivanje podataka, kažemo da je to sustav s bazom $2$ i nazivamo ga binarni brojevni sustav (bi = dva).

Bit

Svaka nula i jedinica predstavlja bit $(b) .$ Dakle, jedan bit može imati dva stanja: $0$ ili $1 .$ U računalu je sve zapisano bitovima, odnosno binarno. $8$ bitova čini bajt $(B),$ koji smo već upoznali kao najmanju mjernu jedinicu.

Bajt

$8$ bitova čini bajt ( $B$ ) koji smo već upoznali kao najmanju mjernu jedinicu.

Razmislite hoće li za zapisivanje istoga broja trebate više znamenki u binarnom brojevnom sustavu ili u dekadskom brojevnom sustavu?

Koliko stanja ima $6$ bitova?

2

64

32

12

null

Tablica prikazuje broj stanja po broju bitova u kojoj je vidljivo pravilno povećanje broja stanja uvođenjem novog bita. Promotrite tablicu gledajući s desna nalijevo.

Broj bitova	$10$	$9$	$8$	$7$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$
Broj stanja	$1024$	$512$	$256$	$128$	$64$	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$

Jesu li vam poznate te vrijednosti? Možete li u trgovini kupiti USB memorijski štapić od $50 GB ?$ Ili memorijsku karticu od $60 G B ?$ Naravno da ne! Postoje samo one koje su ili manje od $32 G B$ ili veće od $64 G B .$

Brojeve stanja iskoristit ćemo kako bismo prikazali težinske vrijednosti. U tablici su prikazana tri binarna zapisa sa svojim težinskim vrijednostima.

$128$	$64$	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	$1$
				$1$	$1$	$0$	$1$
		$1$	$0$	$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$

Kao i u dekadskom sustavu, najmanju težinsku vrijednost ima prva znamenka s desne strane. To je težinska vrijednost $1$ od koje se uvijek kreće. Vidljivo je da je svaka sljedeća dvostruko veća od prethodne, odnosno pomnožena brojem $2 .$

To ćemo iskoristiti da bismo naučili pretvoriti binarno zapisane brojeve u dekadski sustav i kako bismo to razumjeli. Princip je isti kao kod rastavljanja dekadskih brojeva. Sada ćemo to primijeniti na binarnim zapisima. Zapišimo naš prvi binarni zapis i težinske vrijednosti njegovih znamenki.

$8$	$4$	$2$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$

Rastavimo ga pa ponovno zbrojimo: $\begin{array}{l} 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 \end{array} .$

Znači, binarni broj $1100$ pretvoren u dekadski iznosi $12$ ili kraće: $1 100_{(2)} = 12_{(10)} .$

Dalje, izračunajmo: $10001110_{(2)} = ?_{(10)} .$

$128$	$64$	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$

$\begin{array}{l} 1 \cdot 128 + 0 \cdot 64 + 0 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 128 + 8 + 4 + 2 = 142 \end{array}$

Stolno računalo koje okružuje niz binarnih brojeva, nula i jedinica različitih boja i veličina. Taj niz čine brojevi: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0. — Binarni sustav

Binarne zapise iz gornje ilustracije zapišite u dekadskom obliku.

$00001001$
$00001000$
$00000111$
$00000110$
$00000101$
$00000100$
$00000011$
$00000010$
$00000001$
$00000000$

null

Promotrimo i obrnuti postupak: pretvaranje dekadskog broja u binarni zapis.

Naučimo još jedan način pa odaberite sebi lakši! Imamo isti broj $197$ koji dijelimo bazom $2$ dok ne dobijemo $0 .$ Zapisujemo ostatke dijeljenja iza crte. Očitajmo ostatke odozdo prema gore i to je binarni zapis zadanoga dekadskog broja.

$\begin{array}{rcc} 197 & : & 2 \\ 98 & : & 2 \\ 49 & : & 2 \\ 24 & : & 2 \\ 12 & : & 2 \\ 6 & : & 2 \\ 3 & : & 2 \\ 1 & : & 2 \\ 0 \end{array} | \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} ↑ 197_{(10)} = 11000101_{(2)}$

Koji binarni zapis odgovara broju $101 ?$

01100100

00001011

00111111

01100101

null

Težinska vrijednost

Svaka znamenka ima težinsku vrijednost. Označavamo ih počevši s desne strane. U dekadskome brojevnom sustavu svaka se sljedeća znamenka povećava za deset puta ( $1,$ $10,$ $100,$ $1 000$ itd.). U binarnome brojevnom sustavu svaka se sljedeća znamenka povećava za dva puta ( $1,$ $2,$ $4,$ $8,$ $16,$ $32,$ $64,$ $128$ itd.).

Zanimljivost

Postoje još dva brojevna sustava. Jedan je OKTALNI, koji rabi $8$ znamenki $(0$ - $7)$ pa mu je baza $8 .$ Drugi je HEKSADEKADSKI. On rabi $16$ znamenki $(0$ - $15)$ i zato mu je baza $16 .$ Moguća su međusobna pretvaranja u sva četiri brojevna sustava. Isprobajte sljedeću simulaciju.

Povećaj interaktivni prikaz

...i na kraju

Digitalni uređaji

Za uređaje koji sve zapisuju brojevima kažemo da su digitalni. Među njima je i računalo, gdje se svi podaci pohranjuju i zapisuju pomoću binarnog sustava, odnosno bitova $0$ i $1 .$ Svaki binarni zapis možemo pretvoriti u dekadski i obrnuto, kako bismo razumjeli što je računalo zapisalo, odnosno kako bi računalo razumjelo što smo mi napisali.

Procijenite svoje znanje

Koliko znamenaka upotrebljavaju ljudi?

2

bezbroj

10

1 000

null

Računalo se koristi

binarni

brojevnim

sustavom.

null

Bajt čini $8$ bitova.

Točno

Netočno

null

Najmanju težinsku vrijednost $1$ ima prva znamenka s lijeve strane?

Točno

Netočno

null

Uparite binarne zapise s odgovarajućim dekadskim brojem.

$01000000$
$10001100$
$01010101$
$01111111$

null

Izračunajte.

41_{(10)} =

00101001

_{(2)}

96_{(10)} =

01100000

_{(2)}

114_{(10)} =

01110010

_{(2)}

237_{(10)} =

11101101

_{(2)}

null

Uparite baze brojevnih sustava s njihovim nazivima.

$2$
$8$
$10$
$16$

null

1.5 Brojevni sustavi

Na početku...

Dekadski brojevni sustav

Kolekcija zadataka #1

Binarni brojevni sustav

Bit

Bajt

Težinska vrijednost

Zanimljivost

...i na kraju

Digitalni uređaji

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: