Pojmovnik

Gaussova ravnina

Gaussova ili kompleksna ravnina je ravnina u kojoj prikazujemo kompleksne brojeve. Realni dio kompleksnog broja prikazujemo na osi apscisa, a imaginarni dio na osi ordinata.

Imaginarna jedinica

Broj $i$ sa svojstvom da je $i^2=-1$ zove se imaginarna jedinica .

Imaginarni broj

Broj oblika $bi$ gdje je $b$ realan broj različit od $0$, a $i$ je imaginarna jedinica sa svojstvom da je $i^2=-1$ zove se  imaginarni broj .

Jednakost kompleksnih brojeva

Dva su kompleksna broja $z_1=a+bi$ i $z_2=c+di$ jednaka ako i samo ako su im jednaki realni dijelovi i jednaki imaginarni dijelovi, odnosno

$z_1=z_2\iff a=c$, $b=d$.

Kompleksni broj

Kompleksni broj je broj koji ima oblik $z=a+bi$, gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, a $i$ je imaginarna jedinica, $i^2=-1$.

Broj $a$ nazivamo realni dio kompleksnog broja $z$ i označujemo $\mathrm{Re}z$.

Broj $b$ nazivamo imaginarni dio kompleksnog broja $z$ i označujemo $\mathrm{Im}z$.

Konjugirano kompleksni brojevi

Kompleksne brojeve čiji su realni dijelovi jednaki i imaginarni dijelovi suprotnog predznaka nazivamo konjugirano kompleksni brojevi. Označujemo ih sa $z$ i $\bar{z}$.

Ako je $z=a+bi$, onda je $\bar{z}$ $=a-bi$.

U Gaussovoj su ravnini prikazani točkama koje su simetrične s obzirom na os apscisa.

Modul kompleksnog broja

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja je udaljenosti tog broja od ishodišta u Gaussovoj ravnini. Označuje se sa $\left|z\right|$.

Polarne koordinate

Položaj točke $T$ u ravnini možemo odrediti koristeći se brojevima $r$ i $\phi$, gdje je $r=\left|OT\right|$, njezina udaljenost od ishodišta, a $\phi$ je mjera kuta koji dužina $\stackrel{}{}$ $\stackrel{}{}$ $\overline{OT}$ zatvara s pozitivnim smjerom osi $x$ i $0\le \phi <2\pi$.

Brojeve $r$ i $\phi$ nazivamo polarne koordinate točke $T$.

Skup kompleksnih brojeva

Skup kompleksnih brojeva je skup $\mathbf{C}=\left\{a+bi:a,b\in \mathbf{R},i^2=-1\right\}$.

Trigonometrijski oblik, polarni oblik, argument

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja $z$ je ​

$z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, gdje je

$r$ modul kompleksnog broja $z$, a $\phi$ argument kompleksnog broja $z$,  $\phi \in \left[\mathrm{0,2}\pi \right.⟩$.

Pišemo $\phi =\arg \left(z\right)$.

Taj se oblik još naziva i polarni oblik kompleksnog broja.

Ako je kompleksni broj zadan algebarski sa $z=x+yi$, tada $r$  i $\phi$ određujemo iz jednadžbi

$r=\sqrt{x^2+y^2}$, $\mathrm{tg}\phi \mathrm{=}\frac{y}{x}$.

Umnožak kompleksnih brojeva

Umnožak kompleksnih brojeva ​ $z=a+bi$ i $w=c+di$ je kompleksni broj

$z·w=\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i$ .

Zbroj kompleksnih brojeva

Zbroj kompleksnih brojeva ​ $z=a+bi$ i $w=c+di$ je kompleksni broj

$z+w=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i$.