x
Učitavanje

1.6 Aktivnosti za samostalno učenje

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Podsjetimo se: kompleksni broj jest broj koji ima oblik z = a + b i , gdje su a i b realni brojevi, a i imaginarna jedinica, i 2 = - 1 .

Zadatak 1.

Uparite zadatak s odgovarajućim rješenjem.

6 + 8 i 1 + i =
7 + i  
3 - 4 i + 12 + 7 i =  
21 - 20 i
- 4 + 5 i - 1 - 2 i =  
15 + 3 i  
- 5 + 2 i 2 =
11 + 7 i  
2 - i 3 + 5 i =  
- 5 + 7 i  
null
null

Kompleksne brojeve prikazujemo u Gaussovoj ravnini.

Zadatak 2.

Koji od navedenih kompleksnih brojeva nisu prikazani točkom na slici?

Kompleksni brojevi u Gaussovoj ravnini
null
null

Računanje s kompleksnim brojevima u Gaussovoj ravnini

U prethodnim ste jedinicama istražili kako geometrijski interpretirati zbroj i razliku dvaju kompleksnih brojeva.

Zadatak 3.

  • z 1 i z 2 prikazan je
  • zadani brojevi​ z 1 i z 2 .
  • četvrtim vrhom paralelograma
  • čija su tri vrha
  • ishodište i
  • dvaju kompleksnih brojeva
  • Zbroj
null
null

Kutak za znatiželjne

Kako interpretiramo množenje kompleksnih brojeva u Gaussovoj ravnini? Pogledajmo u interakciji.

Uočavate li vezu s množenjem kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku?

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 cos φ 1 + φ 2 + i sin φ 1 + φ 2

Moduli se pomnože, a argumenti zbroje.


Jednadžbe i nejednadžbe

Zadatak 4.

Kojom je od navedenih jednadžba određen skup na slici?

a.

Kompleksni brojevi u Gaussovoj ravnini - ljubičastom bojom je obojan lijevi dio sve do broja 1
null
null

b.

Kompleksni brojevi u Gaussovoj ravnini - ljubičastom bojom obojan je gornji dio do broja 2. Nakon broja 2 je bijela boja.
null
null

c.

Kompleksni brojevi u Gaussovoj ravnini - krušnica ide sve do broja 3
null
null

d.

Kompleksni brojevi u Gaussovoj ravnini - pravac ide po dijagonali kroz broj 1
null
null

...i na kraju

Korjenovanje kompleksnih brojeva

Odredimo sve kompleksne brojeve z za koje je z 3 = 8 .

Zapišimo jednadžbu z 3 - 1 = 0 . Faktorizacijom brzo dolazimo do jednoga realnog rješenja, z 1 = 2 .

z 3 - 8 = z - 2 ( z 2 + 2 z + 4 ) .

Sljedeća rješenja dobijemo rješavanjem kvadratne jednadžbe z 2 + 2 z + 4 = 0 . To su z 2,3 = - 1 ± 3 i .

Nacrtajmo ta rješenja u Gaussovoj ravnini.

Gaussova ravnina
Korjenovanje kompleksnih brojeva

Vidimo da se sva tri rješenja nalaze na kružnici polumjera 2 i da čine jednakostranični trokut.

U ovome smo zadatku mogli riješiti kvadratnu jednadžbu s pomoću formule. Međutim, za jednadžbe višega stupnja nam služi sljedeća formula u kojoj se koristimo trigonometrijskim zapisom kompleksnoga broja.

Svaki kompleksan broj z = r cos φ + i sin φ ima točno n različitih n -tih korijena danih formulom:

r n cos φ + 2 k π n + i sin φ + 2 k π n za k = 1 ,   2,... , n - 1 , n N .

Istražite formulu!

Riješite sjedeći zadatak: Odredite sve kompleksne brojeve za koje je z 5 = 1 .

z 1 = 1

z 2 = cos 2 π 5 + i sin 2 π 5

z 3 = cos 4 π 5 + i sin 4 π 5

z 4 = cos 6 π 5 + i sin 6 π 5

z 5 = cos 8 π 5 + i sin 8 π 5


Povratak na vrh