x
Učitavanje

1.5 Računanje s kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Promotrite kompleksne brojeve prikazane na sljedećim slikama.

Zadatak 1.

Za svaku sliku opišite i raspravite u kakvoj su međusobnoj vezi prikazani kompleksni brojevi.

Na

slici
prikazani su realni
kompleksnog
broja z . Njihov je modul umnožak apsolutne vrijednosti toga istoga realnog
i
modula broja  z , a argument je
argumentu
broja z .
Na
slici
je svaki sljedeći broj dobiven
prethodnog
broja s imaginarnom jedinicom, počevši od broja z .
Modul dobivenih brojeva
je
modulu broja z , a njihov je argument
za
od
argumenta broja z .
null
null

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

Na gornjim je slikama geometrijski predočeno množenje kompleksnog broja s realnim brojem i s potencijom imaginarne jedinice. Koristeći se trigonometrijskim oblikom, odnosno polarnim koordinatama, možemo jednostavnije opisati dobiveni umnožak.

Pogledajmo kako se množe kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku.

Primjer 1.

U sljedećoj interakciji promotrite umnožak kompleksnih brojeva prikazanih u trigonometrijskom obliku.

Zadatak 2.

Uočimo da je modul umnoška kompleksnih brojeva jednak

modula,
a argument umnoška jednak je
argumenata
tih kompleksnih brojeva.
null
null

Ako je z 1 = r 1 cos φ 1 + i sin φ 1 , z 2 = r 2 cos φ 2 + i sin φ 2 , tada je umnožak kompleksnih brojeva ​ z 1 i z 2 jednak z 1 · z 2 = r 1 r 2 cos φ 1 + φ 2 + i sin φ 1 + φ 2 .

Zadatak 3.

Poredajte sljedeće korake prema redoslijedu pojavljivanja u algebarskom dokazu formule za umnožak kompleksnih brojeva z 1 = r 1 cos φ 1 + i sin φ 1 , z 2 = r 2 cos φ 2 + i sin φ 2 .

  • = r 1 r 2 cos φ 1 · cos φ 2 - sin φ 1 sin φ 2 + i cos φ 1 sin φ 2 + cos φ 2 sin φ 1  
  • = r 1 r 2 cos φ 1 + i sin φ 1 cos φ 2 + i sin φ 2
  • z 1 · z 2 = r 1 cos φ 1 + i sin φ 1 · r 2 cos φ 2 + i sin φ 2
  • = r 1 r 2 cos φ 1 + φ 2 + i sin φ 1 + φ 2  
  • = r 1 r 2 cos φ 1 · cos φ 2 + i cos φ 1 sin φ 2 + i cos φ 2 sin φ 1 + i 2 sin φ 1 sin φ 2  
null
null

Primjer 2.

Odredimo modul i argument umnoška sljedećih kompleksnih brojeva.

a. z 1 = 2 cos 3 π 4 + i sin 3 π 4 , z 2 = 3 cos π 8 + i sin π 8

b. z 1 = 3 cos 5 π 3 + i sin 5 π 3 , z 2 = 2 cos 5 π 6 + i sin 5 π 6

a. z 1 · z 2 = 2 · 3 cos 3 π 4 + π 8 + i sin 3 π 4 + π 8 = 2 3 cos 7 π 8 + i sin 7 π 8

modul umnoška: z 1 · z 2 = 2 3

argument umnoška: arg z 1 · z 2 = 7 π 8

b. z 1 · z 2 = 3 · 2 cos 5 π 3 + 5 π 6 + i sin 5 π 3 + 5 π 6 = 6 cos 5 π 2 + i sin 5 π 2 (*)

modul umnoška: ​ z 1 · z 2 = 6

Argument kompleksnog broja u trigonometrijskom obliku je prema definiciji broj iz intervala 0,2 π . Zato broj 5 π 2 nije argument traženog umnoška.

U tom slučaju 5 π 2 svodimo na traženi interval tako da gledamo njegov ostatak pri dijeljenju s 2 π . Jednakost (*) ostaje valjana zbog periodičnosti sinusa i kosinusa. Tada je

argument umnoška: arg z 1 · z 2 = 5 π 2 - 2 π = π 2 .


Dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

Primjer 3.

Izračunajmo 2 cos π 3 + i sin π 3 1 2 cos π 5 + i sin π 5 .

Primijenimo pravilo za dijeljenje kompleksnih brojeva i neke činjenice iz trigonometrije.

2 cos π 3 + i sin π 3 1 2 cos π 5 + i sin π 5 = 2 cos π 3 + i sin π 3 · cos π 5 - i sin π 5 1 2 cos π 5 + i sin π 5 cos π 5 - i sin π 5 =

= 4 cos π 3 + i sin π 3 · cos - π 5 + i sin - π 5 cos 2 π 5 + sin 2 π 5 =

= 4 · cos π 3 - π 5 + i sin π 3 - π 5 cos 2 π 5 + sin 2 π 5 = 4 cos 2 π 15 + i sin 2 π 15 .

Uočimo da se pri dijeljenju kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku moduli dijele, a argumenti oduzimaju.


Ako je z 1 = r 1 cos φ 1 + i sin φ 1 , z 2 = r 2 cos φ 2 + i sin φ 2 , z 2 0 , tada je njihov kvocijent jednak

z 1 z 2 = r 1 r 2 cos φ 1 - φ 2 + i sin φ 1 - φ 2 .

Kutak za znatiželjne

a. Dokažite općenito formulu za dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku.

b. Dokažite da vrijedi formula

z 1 · z 2 · . . . · z n = r 1 · r 2 · . . . · r n cos φ 1 + . . . + φ n + i sin φ 1 + . . . + φ n .

Potenciranje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

Primjer 4.

Koliko je:

a. cos π 5 + i sin π 5 2

b. cos π 5 + i sin π 5 3

c. 2 cos 3 π 7 + i sin 3 π 7 2

d. r cos φ + i sin φ n ?

a. cos π 5 + i sin π 5 2 = cos π 5 + i sin π 5 cos π 5 + i sin π 5 =
= cos π 5 + π 5 + i sin π 5 + π 5 = cos 2 π 5 + i sin 2 π 5

b. cos π 5 + i sin π 5 3 = cos π 5 + i sin π 5 2 cos π 5 + i sin π 5 =
= cos 2 π 5 + π 5 + i sin 2 π 5 + π 5 = cos 3 π 5 + i sin 3 π 5  

c. 2 cos 3 π 7 + i sin 3 π 7 2 = 2 cos 3 π 7 + i sin 3 π 7 · 2 cos 3 π 7 + i sin 3 π 7 =
= 4 cos 6 π 7 + i sin 6 π 7

d. r cos φ + i sin φ n = r cos φ + i sin φ · r cos φ + i sin φ · . . . · r cos φ + i sin φ n   faktora =
= r n cos φ + φ + . . . + φ + i sin φ + φ + . . . + φ = r n cos n φ + i sin n φ .

U posljednjem smo primjeru došli do formule za potenciranje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku. Pritom smo koristili formulu za umnožak kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku.


Za kompleksan broj z = r cos φ + i sin φ i prirodni broj n vrijedi

z n = r n cos n φ + i sin n φ .

Ta se formula naziva De Moivreova formula za potenciranje.

De Moivre
Na fotografiji je De Moivre.

Zanimljivost

Abraham de Moivre (1667. – 1754.) bio je francuski matematičar poznat po formuli koja povezuje kompleksne brojeve i trigonometriju te po svojim radovima iz teorije vjerojatnosti.  Zanimljiva je priča kako je Moivre točno predvidio dan svoje smrti. S obzirom na činjenicu da svaki dan spava 15 minuta dulje, de Moivre je pretpostavio da će umrijeti onog dana kada će spavati svih 24 sata na dan. Tada je jednostavno izračunao da će umrijeti 27. studenog 1754. godine, što se zaista i dogodilo.

Primjer 5.

Izračunajte 1 2 - 3 2 i 90 .

S obzrom na složenost postupka, dosta je jasno da tu potenciju nećemo računati množeći bazu 90 puta sa samom sobom ili koristeći se binomnom formulom. Računska radnja potenciranja u skupu kompleksnih brojeva svodi se na množenje realnim brojem. Množenje se svodi na zbrajanje ako je broj zapisan u trigonometrijskom obliku.

Zato je prvi korak u zadatku prikazati dani broj u trigonometrijskom obliku.

r = 1 2 2 + 3 2 2 = 1 , tg φ = - 3 ,   tg - 1 - 3 = - π 3 , z IV. kvadrant φ = - π 3 + 2 π = 5 π 3

Tada je trigonometrijski prikaz danog broja jednak z = cos 5 π 3 + i sin 5 π 3 . Slijedi da je

1 2 - 3 2 i 90 = cos   5 π 3 + i sin 5 π 3 90 = cos 90 · 5 π 3 + i sin 90 · 5 π 3 = cos 150 π + i sin 150 π = cos 0 + i sin 0 = 1 .


...i na kraju

Ponovimo!

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh