Lorentzove transformacije
Galilejeve transformacije su u suprotnosti s eksperimentalnim činjenicama.
Uvode se nove transformacije za opis gibanja u 4 koordinate (tri prostorne koordinate i vrijeme). To su Lorentzove transformacije.
Galilejeve transformacije su u suprotnosti s eksperimentalnim činjenicama.
Uvode se nove transformacije za opis gibanja u 4 koordinate (tri prostorne koordinate i vrijeme).
To su Lorentzove transformacije.
Traže se transformacije koje prevode sustav S u S'. Zbog homogenosti prostora, zahtjeva se da
transformacije moraju biti linearne. Sustav S´giba se stalnom brzinom duž koordinatne x-osi.
Uvodi se faktor γ:
Traže se transformacije koje prevode sustav S u S´.
Zbog homogenosti prostora, zahtjeva se da transformacije moraju biti linearne.
Sustav S´ giba se stalnom brzinom duž kordinatne x-osi.
Uvodi se faktor γ:
[latex]x=\gamma \left(x´+vt\right)[/latex]
[latex]x´=\gamma \left(x-vt\right)[/latex]
Prema načelu konstantnosti brzine svjetlosti:
[latex]x=ct[/latex]
[latex]x´=ct´[/latex]
slijedi:
Prema načelu konstantnosti brzine svjetlosti:
[latex]x=ct[/latex]
[latex]x´=ct´[/latex]
slijedi:
[latex]\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{^{v^2}}{c^2}}}[/latex]
Faktor γ se naziva Lorentzov faktor.
Faktor γ se naziva Lorentzov faktor.
Lorentzove transformacije iz sustava S´u sustav S:
Lorentzove transformacije iz sustava S´u sustav S:
[latex]x=\gamma \left(x´+vt´\right)[/latex]
[latex]y=y´[/latex]
[latex]z=z´[/latex]
[latex]t=\gamma \left(t´+\frac{vx´}{c^2}\right)^{}[/latex]
Lorentzove transformacije iz sustava S u sustav S´:
Lorentzove transformacije iz sustava S u sustav S´:
[latex]x´=\gamma \left(x-vt\right)[/latex]
[latex]y´=y[/latex]
[latex]z´=z[/latex]
[latex]t´=\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right)^{}[/latex]
Za male brzine, Lorentzove transformacije svode se na Galilejeve.
Za male brzine, Lorentzove transformacije svode se na Galilejeve.
Einsteinovo pravilo za zbrajanje brzina
Kako je Galilejevo pravilo za zbrajanje brzina u suprotnosti s načelom konstantnosti brzine svjetlosti, Einstein zaključuje da Galilejevo zbrajanje brzina ne vrijedi kad su brzine vrlo velike, bliske brzini svjetlosti.
Galilejevo pravilo za zbrajanje brzina u suprotnosti je s načelom konstantnosti brzine svjetlosti.
Einstein zaključuje da Galilejevo zbrajanje brzina ne vrijedi kad su brzine vrlo velike, bliske brzini svjetlosti.
Polazeći od načela teorije relativnosti, Einstein izvodi novu formulu za zbrajanje brzina:
Einstein izvodi novu formulu za zbrajanje brzina:
[latex]u=\frac{u´+v}{1+\frac{vu´}{c^2}}[/latex]
Ako su brzine u´i v suprotnih orjentacija, u izraz za zbrajanje brzina uvrštava se negativni predznak, -u´.
Ako su brzine u´i v suprotnih orjentacija, u izraz za zbrajanje brzina uvrštava se negativni predznak, -u´.
[latex]u´=\frac{u-v}{1-\frac{vu}{c^2}}[/latex]
Relativističko usporenje vremena
Što je svjetlosni sat? Pogledajte primjer u sljedećoj animaciji.
Što je svjetlosni sat?
Pogledajte primjer u sljedećoj animaciji.
Svjetlosni sat
Svjetlosni sat se sastoji od dva paralelno postavljena zrcala. Ako pošaljemo svjetlosni signal sa donjeg zrcala prema gornjem zrcalu, signal se na gornjem zrcalu reflektira i vraća prema donjem zrcalu. Signal se reflektira od donjeg zrcala i dalje nastavlja prema gornjem zrcalu.
Svjetlosni sat se sastoji od dva paralelno postavljena zrcala.
Ako pošaljemo svjetlosni signal sa donjeg zrcala prema gornjem zrcalu:
- signal se na gornjem zrcalu reflektira
- vraća se prema donjem zrcalu.
Signal se reflektira od donjeg zrcala i dalje nastavlja prema gornjem zrcalu.
Razmotrimo dva slučaja u kojima će se odrediti period svjetlosnog sata koji se nalazi u raketi koja se udaljava od Zemlje brzinom v.
U prvom slučaju se motritelj nalazi u raketi.
Razmotrimo dva slučaja u kojima će se odrediti period svjetlosnog sata.
On se nalazi u raketi koja se udaljava od Zemlje brzinom v.
U slučaju se prvom motritelj nalazi u raketi.
Svjetlost putuje od zrcala Z1 do zrcala Z2 reflektira se i vraća do zrcala Z1. Motritelj u sustavu rakete (S´) mjeri vremenski interval za koji se svjetlosni signal vraća:
[latex]\Delta t´=\frac{2d}{c}[/latex]
Ovaj vremenski interval određen je u sustavu u kojem svjetlosni sat miruje.
Svjetlost:
- putuje od zrcala Z1 do zrcala Z2
- reflektira se i vraća do zrcala Z1.
Motritelj u sustavu rakete (S´) mjeri vremenski interval za koji se svjetlosni signal vraća:
[latex]\Delta t´=\frac{2d}{c}[/latex]
Ovaj vremenski interval određen je u sustavu u kojem svjetlosni sat miruje.
U drugom slučaju motritelj se nalazi na površini Zemlje, a raketa sa svjetlosnim satom prolazi konstantnom brzinom v iznad njega.
U drugom slučaju motritelj se nalazi na površini Zemlje.
Raketa sa svjetlosnim satom prolazi konstantnom brzinom v iznad njega.
Za motritelja u sustavu S vezanim za površinu Zemlje, vremenski interval u kojem se svjetlosni signal vraća do zrcala Z1 određen je izrazom:
[latex]\Delta t=\frac{2L}{c}[/latex]
Za motritelja u sustavu S vezanim za površinu Zemlje, vremenski interval u kojem se svjetlosni signal vraća do zrcala Z1 određen je izrazom:
[latex]\Delta t=\frac{2L}{c}[/latex]
Pomak rakete L za vrijeme Δt/2, da svjetlosni signal stigne od zrcala Z1 do zrcala Z2, određen u sustavu S je:
[latex]L=v\frac{\Delta t}{2}[/latex]
Razmak između zrcala Z1 i Z2 određen u sustavu S´je:
[latex]d=c\frac{\Delta t´}{2}[/latex]
Na prethodnoj slici se može uočiti pravokutni trokut:
Pomak rakete L za vrijeme Δt/2, da svjetlosni signal stigne od zrcala Z1 do zrcala Z2, određen u sustavu S je:
[latex]L=v\frac{\Delta t}{2}[/latex]
Razmak između zrcala Z1 i Z2 određen u sustavu S´je:
[latex]d=c\frac{\Delta t´}{2}[/latex]
Na prethodnoj slici se može uočiti pravokutni trokut:
Za motritelja na Zemlji svjetlosni signal za vrijeme dok stigne od zrcala Z1 do zrcala Z2 prelazi udaljnost:
[latex]r=v\frac{\Delta t}{2}[/latex]
Primjenom Pitagorinog poučka
[latex]r^2=L^2+d^2[/latex]
i uvrštavanjem prethodnih izraza za r, L i d:
[latex]({\frac{\triangle t}{2}}c)^2=({\frac{\triangle t}{2}}v)^2+({\frac{\triangle t´}{2}}c)^2[/latex]
[latex]({\triangle t})^2c^2=({\triangle t})^2v^2+({\triangle t´})^2c^2[/latex]
Slijedi:
Za motritelja na Zemlji svjetlosni signal za vrijeme dok stigne od zrcala Z1 do zrcala Z2 prelazi udaljnost:
[latex]r=v\frac{\Delta t}{2}[/latex]
Primjenom Pitagorinog poučka
[latex]r^2=L^2+d^2[/latex]
i uvrštavanjem prethodnih izraza za r, L i d:
[latex]({\frac{\triangle t}{2}}c)^2=({\frac{\triangle t}{2}}v)^2+({\frac{\triangle t´}{2}}c)^2[/latex]
[latex]({\triangle t})^2c^2=({\triangle t})^2v^2+({\triangle t´})^2c^2[/latex]
Slijedi:
[latex]\triangle t=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\triangle t´[/latex]
Δt´ je vlastiti vremenski interval ili vlastito vrijeme
Uobičajene oznake su Δt´= T0 ili Δt´= Δt0
Δt´ je vremenski interval u mirujućem referentnom sustavu, to je najkraći mogući interval između dva događaja koja se zbivaju na istom mjestu.
U svim drugim inercijskim sustavima vremenski interval Δt između dva uzastopna događaja dulji je od vlastitog vremenskog intervala:
[latex]\Delta t\gt \Delta t´[/latex]
Svaki motritelj uočava da vrijeme teče sporije u svakom drugom inercijskom sustavu koji se giba u odnosu na njega.
Ovaj učinak zove se relativističko usporenje vremena ili vremenska dilatacija.
Jednadžba za relativističko usporenje vremena može se zapisati i pomoću Lorentzova faktora:
Δt´ je vlastiti vremenski interval ili vlastito vrijeme
Uobičajene oznake su Δt´= T0 ili Δt´= Δt0
Δt´ je vremenski interval u mirujućem referentnom sustavu, to je najkraći mogući interval između dva događaja koja se zbivaju na istom mjestu.
U svim drugim inercijskim sustavima vremenski interval Δt između dva uzastopna događaja dulji je od vlastitog vremenskog intervala:
[latex]\Delta t\gt \Delta t´[/latex]
Svaki motritelj uočava da vrijeme teče sporije u svakom drugom inercijskom sustavu koji se giba u odnosu na njega.
Ovaj učinak zove se relativističko usporenje vremena ili vremenska dilatacija.
Jednadžba za relativističko usporenje vremena može se zapisati i pomoću Lorentzova faktora:
[latex]\Delta t=\gamma \Delta t´[/latex]
U sustavu koji se relativistički giba vrijeme teče sporije, vremenski interval je duljii od intervala vremena u sustavu koji se ne giba relativističkom brzinom.
U sustavu koji se relativistički giba:
- vrijeme teče sporije
- vremenski interval je duljii od intervala vremena u sustavu koji se ne giba relativističkom brzinom.
Svemirska letjelica lansirana je sa Zemlje na astronautov 30. rođendan. Letjelica se gibala brzinom od 86,6% brzine svjetlosti. Nakon 5 vlastitih godina astronautova života, letjelica se vraća prema Zemlji. Letjelica se vratila na Zemlju na astronautov rođendan. Na dočeku posade bio je prisutan i astronautov brat blizanac.
Koji rođendan slave blizanci?
Astronaut slavi 40. rođendan, brat blizanac 50. rođendan.
Razmotrimo poznati problem paradoksa blizanaca.
Što mjeri motritelj iz rakete koja se udaljava od Zemlje ako postavimo svjetlosni sat na Zemlju?
I za njega vrijeme na Zemlji teče sporije nego na svemirskom brodu.
Radi li se ovdje o kontradikciji? Ovaj rezultat je u skladu s teorijom relativnosti i ispravan.
Paradoks ne postoji jer ove dvije situacije nisu simetrične.
Letjelica se na svom putovanju ne giba cijelo vrijeme stalnom brzinom, ona povremeno usporava, mijenja smjer gibanja, ubrzava. Pretpostavka da Zemlja odlazi na putovanje nije ispravna, jer bi u tom slučaju Zemlja povremeno ubrzavala ili usporavala umjesto letjelice, što se ne događa.
Razmotrimo poznati problem paradoksa blizanaca.
Što mjeri motritelj iz rakete koja se udaljava od Zemlje ako postavimo svjetlosni sat na Zemlju?
I za njega vrijeme na Zemlji teče sporije no na svemirskom brodu.
Radi li se ovdje o kontradikciji?
Ovaj rezultat je u skladu s teorijom relativnosti i ispravan.
Paradoks ne postoji jer ove dvije situacije nisu simetrične.
Letjelica se na svom putovanju ne giba cijelo vrijeme stalnom brzinom.
Ona povremeno usporava, mijenja smjer gibanja, ubrzava.
Pretpostavka da Zemlja odlazi na putovanje nije ispravna.
U tom slučaju Zemlja bi povremeno ubrzavala ili usporavala umjesto letjelice.
To se ne događa.
Relativističko produljenje vremena poluživota miona
Kozmičke čestice su čestice vrlo velikih brzina i energija (atomske jezgre ili protoni) koje dolaze iz svemira. Čestice koje dođu na vrh atmosfere nazivamo primarnim kozmičkim zračenjem. Primarne čestice sudaraju se s molekulama iz atmosfere pri čemu nastaju pioni koji se mogu se mogu raspasti na mione. Te mione nazivamo sekundarnim kozmičkim zračenjem i mogu se detektirati na površini Zemlje zbog njihova relativističkog produljenja vremena poluživota.
Kozmičke čestice su čestice vrlo velikih brzina i energija (atomske jezgre ili protoni) koje dolaze iz svemira.
Čestice koje dođu na vrh atmosfere nazivamo primarnim kozmičkim zračenjem.
Primarne čestice sudaraju se s molekulama iz atmosfere.
Pri tome nastaju pioni koji se mogu raspasti na mione.
Te mione nazivamo sekundarnim kozmičkim zračenjem.
Mogu se detektirati na površini Zemlje zbog njihova relativističkog produljenja vremena poluživota.
Relativističko produljenje vremena poluživota miona
Mioni stvoreni u atmosferi, koji miruju u odnosu prema motritelju, imaju vrijeme poluraspada 2,2 μs. Mioni se gibaju brzinom 99,8% brzine svjetlosti u odnosu na površinu zemlje. Koliko puta dulji put mion može prijeći u odnosu prema zemlji?
16 puta
U sljedećoj simulaciji možete razmotriti koliki vremenski interval mjeri motritelj u sustavu S´koji se giba stalnom brzinom v, u ovisnosti o intervalu vremena izmjeren u sustavu S za koji se uzima da miruje.
U sljedećoj simulaciji možete razmotriti:
- koliki vremenski interval mjeri motritelj u sustavu S´ koji se giba stalnom brzinomirujem v
- u ovisnosti o intervalu vremena izmjeren u sustavu S za koji se uzima da.
Relativističko skraćenje duljine
Neka se sustav S´, svemirski brod koji se giba translacijski prema sustavu S na površini Zemlje, giba u smjeru x-osi. U brodu se nalazi štap.
Sustav S´je svemirski brod koji se giba translacijski prema sustavu S na površini Zemlje.
Neka se giba u smjeru x-osi.
U brodu se nalazi štap.
Motritelj u sustavu S´mjeri duljinu štapa L0. Štap u odnosu na motritelja miruje. On mjeri duljinu:
[latex]L_0=x´_2-x´_1[/latex]
Duljina L0 je vlastita duljina, odnosno duljina štapa u sustavu u kojem štap miruje.
Motritelj u sustavu S mjeri duljinu:
[latex]L=x_2-x_1[/latex]
Motritelj u sustavu S´mjeri duljinu štapa L0.
Štap u odnosu na motritelja miruje.
On mjeri duljinu:
[latex]L_0=x´_2-x´_1[/latex]
Duljina L0 je vlastita duljina, odnosno duljina štapa u sustavu u kojem štap miruje.
Motritelj u sustavu S mjeri duljinu:
[latex]L=x_2-x_1[/latex]
Odnos između duljina L0 i L se može dobiti na osnovu Lorentzovih transformacija:
[latex]L_0=_{}x´_2-x´_1=\gamma \left(x_2-vt_2\right)-\gamma \left(x_1-vt_1\right)[/latex]
[latex]L_0=_{}\gamma \left(x_2-x_1\right)-\gamma v\left(t_2-t_1\right)[/latex]
Kako je [latex]x_2-x_1=L[/latex] i [latex]t_2-t_1=0[/latex], jer se mjerenja zbog gibanja sustava S´moraju obaviti u istom trenutku, slijedi:
Odnos između duljina L0 i L se može dobiti na osnovu Lorentzovih transformacija:
[latex]L_0=_{}x´_2-x´_1=\gamma \left(x_2-vt_2\right)-\gamma \left(x_1-vt_1\right)[/latex]
[latex]L_0=_{}\gamma \left(x_2-x_1\right)-\gamma v\left(t_2-t_1\right)[/latex]
Kako je [latex]x_2-x_1=L[/latex] i [latex]t_2-t_1=0[/latex], jer se mjerenja zbog gibanja sustava S´moraju obaviti u istom trenutku, slijedi:
[latex]L_0=\gamma L[/latex]
Prethodni izraz može se, uvrštavanjem izraza za Lorentzov faktor, zapisati i u obliku:
Uvrstite izraze za Lorentzov faktor.
Prethodni izraz može se zapisati i u obliku:
[latex]L_0=\frac{L}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/latex]
Budući da je [latex]v\le c[/latex] i [latex]\gamma \ge 1[/latex] slijedi:
[latex]L\lt L_0[/latex]
Kontrakcija ili skraćenje duljine opaža se u sustavu koji se relativistički giba. Duljine (u smjeru gibanja) su kraće od onih u sustavu koji miruje.
Budući da je [latex]v\le c[/latex] i [latex]\gamma \ge 1[/latex] slijedi:
[latex]L\lt L_0[/latex]
Kontrakcija ili skraćenje duljine opaža se u sustavu koji se relativistički giba.
Duljine (u smjeru gibanja) su kraće od onih u sustavu koji miruje.
Primjer
Pogledajte animaciju u kojoj letjelica prolazi ispred motritelja na Zemlji. Uzmimo da su brzine letjelice relativističke i da se u animaciji pri prolazima povećevaju. Što motritelj na Zemlji opaža? Mijenja li se pritom i širina letjelice?
Primjer
Pogledajte animaciju.
Letjelica prolazi ispred motritelja na Zemlji.
Uzmimo da su brzine letjelice relativističke i da se u animaciji pri prolazima povećavaju.
Što motritelj na Zemlji opaža?
Mijenja li se pritom i širina letjelice?
Što je veća brzina letjelice, motritelj na Zemlji opaža veće smanjenje duljine letjelice. Ne opaža promjenu širine letjelice.
U simulaciji možete razmotriti koliku duljinu L objekta mjeri motritelj u sustavu S za koji se uzima da miruje, u ovisnosti o odabiru vlastite duljine L0 izmjerene u sustavu S´ako je zadano kojom se brzinom v taj sustav giba pri prolazu iznad motritelja u sustavu S.
U simulaciji možete razmotriti koliku duljinu L objekta mjeri motritelj u sustavu S za koji se uzima da miruje, u ovisnosti o odabiru vlastite duljine L0 izmjerene u sustavu S.
Zadano je kojom se brzinom v taj sustav giba pri prolazu iznad motritelja u sustavu S.
Sažetak
Galilejevo zbrajanje brzina ne vrijedi kad su brzine vrlo velike, bliske brzini svjetlosti. Polazeći od načela teorije relativnosti, Einstein izvodi novu formulu za zbrajanje brzina:
[latex]u´=\frac{u-v}{1-\frac{vu}{c^2}}[/latex]
[latex]u=\frac{u´+v}{1+\frac{vu´}{c^2}}[/latex]
gdje je u' brzina izmjerena u sustavu S', u brzina istog tijela izmjerena iz sustava S, a v brzina sustava S' u odnosu na sustav S.
Svaki motritelj uočava da vrijeme teče sporije u svakom drugom inercijskom sustavu koji se giba u odnosu na njega. Ovaj učinak zove se relativističko usporenje vremena ili vremenska dilatacija.
[latex]\Delta t=\gamma \Delta t´[/latex]
Kontrakcija ili skraćenje duljine opaža se u sustavu koji se relativistički giba. Duljine (u smjeru gibanja) su kraće od onih u sustavu koji miruje.
[latex]L_0=\frac{L}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/latex]
[latex]\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{^{v^2}}{c^2}}}[/latex]
Faktor γ se naziva Lorentzov faktor.
Za znatiželjne i one koji žele znati više
Relativistička dinamika
Iz klasične mehanike je poznato da je količina gibanja tijela određena izrazom [latex]p=m\cdot v[/latex].
Izraz se ne može primijeniti za brzine tijela blizu brzini svjetlosti.
Znači da je maksimalna količina gibanja tijela mase m, određena izrazom [latex]p=m\cdot c[/latex].
Prema rezultatima pokusa s brzim elementarnim česticam, količina gibanja čestica raste daleko iznad te vrijednosti kad im se brzina približava brzini svjetlosti.
Einstein pri izvodu novog relativističkog izraza za količinu gibanja pretpostavlja dva uvjeta:
- novi izraz prelazi u klasični za brzine mnogo manje od brzine svjetlosti
- da i uz novi izraz vrijedi zakon očuvanja količine gibanja.
Einsteinova relativistička formula za količinu gibanja.
[latex]\vec p=\frac{m\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/latex]
Ili zapis pomoću Lorentzova faktora:
[latex]\vec{p}=\gamma m\vec{v}[/latex]
Iako je brzina ograničena brzinom svjetlosti, nema ograničenja na rast količine gibanja.
Za brzine koje su puno manje od brzine svjetlosti, relativistički izraz za količinu gibanja prelazi u klasični izraz.
U izrazu za relativističku količinu gibanja masa tijela je konstantna, neovisna o brzini tijela. Relativistička ovisnost o brzini uključena je u izraz za količinu gibanja.
Relativistička masa
Relativistički izraz za količinu gibanja mogao bi se zapisati u obliku:
[latex]\vec{p}=\gamma m_r\vec{v}[/latex]
Gdje je veličina mr definirana izrazom:
[latex]m_r=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/latex]
Neki su fizičari tu veličinu nazivali relativističkom masom. Ona raste s brzinom tijela, ali je značajno povećanje uočljivo tek za brzine blizu brzine svjetlosti. Masu m nazvali su masom mirovanja i označili sa m0. Međutim, masa tijela je konstantna, neovisna o brzini tijela. Einstein nije koristio pojam relativistička masa, ovisnost o brzini uključio je u izraz za relativističku količinu gibanja.
Relativistička kinetička energija
Klasični izraz za kinetičku energiju čestice mase m koja se giba brzinom v glasi:
[latex]E_k=\frac{1}{2}m\cdot v^2[/latex]
Einstein je dobio sljedeću relativističku formulu za kinetičku energiju čestice:
[latex]E_k=m\cdot c^2(\gamma -1)[/latex]
Ako je brzina čestice puno manja od brzine svjetlosti, relativistički izraz za kinetičku energiju prelazi u klasični.
Dokaz:
Ako je v << c tada je v/c << 1.
Primjenom aproksimacije poznate iz matematike:
[latex]\frac{1}{\sqrt{1-x}}\approx 1+\frac{1}{2}x+...[/latex] za |x|<< 1
slijedi [latex]\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{\text{c}^2}}}\approx1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}[/latex] ili [latex]\gamma \approx 1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}[/latex]
Uvrsti li se prethodni izraz u jednadžbu [latex]E_k=m\cdot c^2(\gamma -1)[/latex] u slučaju kad je brzina mnogo manja od brzine svjetlosti slijedi:
[latex]E_k=m{c^2}\left(1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}-1\right)=m{c^2}\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\Rightarrow E_k=\frac{1}{2}m{v^2}[/latex]
Na dijagramu su uspoređeni grafovi kinetičke energije u relativističkoj fizici i u klasičnoj fizici:
Opišite grafičke prikaze kinetičke energije u relativističkoj fizici i u klasičnoj fizici.
Graf koji odgovara relativističkoj kinetičkoj energiji s porastom brzine sve više raste, do u beskonačno. Zato tijelo ne može postići brzinu svjetlosti. Prema klasičnoj formuli kinetička energija postupno raste s povećanjem kvadrata brzine i pri brzinama većim od brzine svjetlosti.
Ovisnost kinetičke energije čestica velikih brzina o brzini, opisana relativističkom formulom i eksperimentalno je potvrđena.
Ukupna relativistička energija i energija mirovanja čestice
Neka je jednadžba [latex]E_k=m\cdot c^2(\gamma -1)[/latex]
napisana u obliku [latex]\gamma \cdot m\cdot c^2=m\cdot c^2+E_k[/latex] (1)
U Einsteinovoj teoriji relativnosti veličine se označuju:
[latex]E=\gamma \cdot m\, {\cdot }c^2[/latex] ... ukupna relativistička energija
[latex]E_0= m\, {\cdot }c^2[/latex] ... energija mirovanja
[latex]E_k=m\cdot c^2(\gamma -1)[/latex] ... relativistička kinetička energija
Stoga se jednadžba (1) može pisati u obliku:
[latex]E=E_0+E_k[/latex] (2)
Kad je brzina čestice nula i kinetička energija je nula, pa je ukupna energija čestice mc2.
U teoriji relativnosti svakoj masi odgovara energija mirovanja mc2. To se naziva ekvivalencija mase i energije. Energija mirovanja može se pretvarati u druge oblike energije.
U svim procesima u prirodi (kemijskim, mehaničkim, nuklearnim) u kojima se energija oslobađa, prema toj se formuli smanjuje energija mirovanja čestica koje sudjeluju u procesu. Međutim, u kemijskim i mehaničkim procesima pritom je promjena mase izvanredno mala!
Za kvazare se vjeruje da su jezgre galaksija u nastajanju. Energija koju kvazari zrače je velika. Zbog toga kvazari gube masu. Koliko iznosi masa koju svake sekunde izgubi kvazar koji zrači 1 ⋅ 1041 J/s?
Masa koju kvazar izgubi u jednoj sekundi iznosi 1,1 ⋅ 1024 kg.