x
Učitavanje

1.6 Primjena (omjeri, razmjeri, postotci, aritmetička sredina)

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

U skupu A se nalaze tri kruga i tri trokuta, a u skupu B tri kruga i pet kvadrata

Na slici su prikazana dva skupa A i B . Koji skup sadržava više krugova?

Promatramo li apsolutne odnose, reći ćemo da skup A sadržava jednak broj krugova kao skup B . Ako promatramo relativne odnose, reći ćemo da skup A sadržava više krugova od skupa B . Objasnite.

Skup A sadržava  6 elemenata od kojih su 3 kruga. Skup B sadrži 8 elemenata od kojih su također 3 kruga. Odnos broja krugova prema ukupnom broju elemenata skupa A iznosi 3 : 6 = 3 6 , a odnos broja krugova prema broju elemenata skupa B iznosi 3 : 8 = 3 8 . Vidimo da je taj broj za skup A veći pa kažemo da skup A sadržava više krugova.


Omjeri

Odnos dviju količina ili mjera a  i b u danoj situaciji nazivamo omjerom. Zapisujemo ga u obliku a : b  ili a b .

a : b = a b , a , b R, b 0 .

Zadatak 1.

Fotografija prikazuje čašu soka od naranče.

U čašu u kojoj se nalazi 200 ml vode uliveno je 50 ml narančina sirupa. Koji je omjer količine sirupa i vode u tome soku?

Omjer količine sirupa i vode je 50 : 200 , odnosno 1 : 4 .


Zadatak 2.

  1.  Zapišite zadane omjere u obliku omjera prirodnih brojeva.
    3 4 : 9 8 = :  

     

     

  2. 4 7 : 5 21 =   :  
  3. 2 1 3 : 1 2 5 =   :  

     

     

  4. 0.125 : 0.4 = :  

     

     

Pogledajmo još i ove omjere: 5 kn kg , 50 km h , 70 otkucaja min . Po čemu se ti omjeri razlikuju od prethodnih?

Uočimo da ti omjeri imaju mjerne jedinice. Razlog je tomu što smo u odnos stavili raznovrsne veličine.

Zadatak 3.

Iva je na tržnici 1.5 kg jagoda platila 27 kuna. Kolika je cijena 1 kilograma jagoda?

27 kn 1.5 kg = 18 kn/kg


Zanimljivost

Na slici je Pitagora.
Pitagora

Pitagora sa Samosa (oko 570. - 475. pr. Krista) oko 518. pr. Krista osnovao je znamenitu pitagorejsku školu. Pitagorejci su vjerovali da se omjer duljina svakih dviju dužina može izraziti kao omjer prirodnih brojeva. Šokiralo ih je otkriće da postoje neki omjeri koji se ne mogu predstaviti kao racionalni brojevi. Koliko iznosi omjer duljina hipotenuze i katete u jednakokračnome pravokutnom trokutu?

Povezani sadržaji

Ilustracija prikazuje dvije kružnice koje se sijeku,  jednakostraničan trokut upisan jednoj, a pravokutni trokut upisan drugoj kružnici. Zajednička tetiva jedna je od stranica tih trokuta

Dvije kružnice k 1 i k 2 imaju zajedničku tetivu. Ta je tetiva kružnici k 1 stranica upisanoga jednakostraničnog trokuta, a kružnici k 2 kateta upisanoga jednakokračnoga pravokutnog trokuta. Koliki je omjer polumjera tih kružnica?

Neka je r 1 polumjer kružnice k 1 , a r 2 polumjer kružnice k 2 i a  duljina zajedničke tetive.

r 1 jednako je 2 3 duljine visine jednakostraničnog trokuta duljine stranice a .

r 1 = 2 3 · a 3 2 = a 3 3

Iz pravokutnog trokuta upisanoga kružnici k 2 slijedi

2 r 2 = 2 a 2 , odnosno r 2 = a 2 2 .

Konačno

r 1 : r 2 = 2 3 : 3 2 .


Produženi omjer

Produženi omjer kraći je zapis više omjera u kojemu je drugi član svakoga omjera jednak prvome članu sljedećeg omjera. Ako imamo omjere​ a : b i b : c , možemo ih zapisati u obliku produženog omjera a : b : c .

Na primjer, ako duljine stranica nekoga trokuta iznose 10 cm ,   4 cm i 6 cm , kažemo da su stranice u omjeru 5 : 2 : 3 .

Primjer 1.

Napišimo produljeni omjer za ova dva omjera:​ 5 : 3 i 4 : 7 .

Drugi član prvog omjera i prvi član drugog omjera moraju biti jednaki. To ćemo postići proširivanjem prvog omjera faktorom 4 , a drugog omjera faktorom 3 jer je najmanji zajednički višekratnik brojeva 3 i 4 broj 12 .

( 5 · 4 ) : ( 3 · 4 ) , ( 4 · 3 ) : ( 7 · 3 ) odnosno, 20 : 12 , 12 : 21 .

Konačno, produženi omjer je 20 : 12 : 21 .

Zadatak 4.

Povežite omjere i odgovarajući produženi omjer.

3 : 4 i 6 : 5
2 : 5 i 3 : 7
1 : 2 i 8 : 10
2 : 3 i 5 : 7
null
null

Razmjeri

Jednakost omjera a : b = c : d , pri čemu su a , b , c , d R , b , d 0 , nazivamo razmjerom.

Zadatak 5.

Jesu li sljedeći razmjeri točni?

  1. 52 : 13 = 68 : 17

    null
    null
  2. 25 : 8 = 7.5 : 2.5

    null
    null
  3. 0.8 : 6.1 = 0.4 : 30.5

    null
    null
  4. 7 5 : 1 1 3 = 21 : 20

    null
    null

Zadatak 6.

Izračunajte nepoznati član razmjera.

  1. 21 : 12 = : 16
    null
    null
  2. 4 : 16 5 = : 7 5
    null
    null
  3. 14 : = 12 : 1.8
    null
    null
  4. 252 : 630 = 3.5 :   ​ .
    null
    null

Zadatak 7.

Dva prijatelja trebaju podijeliti iznos od 3 072 kn u omjeru 5 : 7 . Koliko će kuna dobiti svaki?

Neka su a i b  iznosi koje dobivaju prijatelji. Uočimo da se dio iznosa a koji dobiva jedan prijatelj odnosi prema ukupnom iznosu kao 5 : ( 5 + 7 ) , odnosno da je

a : 3 072 = 5 : 12 .

Odavde slijedi da je a = 1 280 .

Dakle, jedan prijatelj dobiva 1 280 kn , a drugi 1 792 kn .


Zadatak 8.

Mjere kutova u trokutu odnose se kao 3 : 4 : 8 . Koliko iznosi mjera najmanjeg kuta?

Neka je x mjera najmanjega kuta u trokutu. Uočimo da se mjera toga kuta odnosi prema zbroju svih kutova u trokutu kao 3 : ( 3 + 4 + 8 ) , odnosno da je x : 180 = 3 : 15 .

Odavde slijedi da je mjera najmanjeg kuta x = 36 ° .  


Zadatak 9.

Popunite prazna mjesta:

  1. 2 km / min = km / h
    null
    null
  2. 528 g / h = kg / dnevno
    null
    null
  3. 90 treptaja / min = 1.5 treptaja /  
    null
    null
  4. 120 kn / m 2 =   lp / dm 2   ​
    null
    null

Povezani sadržaji

Gustoća je bakra 8.92 g / cm 3 . Kolika je masa 500 cm 3 bakra? ​

Prisjetite se: Gustoća je kvocijent mase i obujma.

4 460 g


Zadatak 10.

Na jednome stolnoteniskom turniru Grigor je pobijedio u 9 od ukupno 11 mečeva, a Dominik u 11 od 14 mečeva. Tko je bio uspješniji na turniru? Objasnite.

Grigor je bio uspješniji jer ima veći omjer pobjeda prema ukupnom broju mečeva.

Zadatak 11.

Osmorica su prijatelja odlučila otići tri dana na planinarenje. U vodiču za planinarenje piše da je za pet osoba potrebno 12.5 litara vode na dan. Koliko vode trebaju ponijeti?

Za jednu je osobu potrebno 12.5 : 5 = 2.5 litara vode na dan, a za osam osoba treba 2.5 · 8 = 20  litara na dan, odnosno 60 litara ukupno za tri dana.


Kutak za znatiželjne

Na slici je prikazan zlatni rez.

Kažemo da su dvije veličine a i b u zlatnom omjeru ili zlatnom rezu ako se manji dio a odnosi prema većem b kao što se veći dio odnosi prema ukupnom, odnosno ako vrijedi a : b = b : ( a + b ) .

U svijetu oko nas mnoštvo je primjera zlatnog reza. Prisutan je u rastu biljaka, u građi tijela životinja te u građi ljudskog tijela. Pronađite sami neke primjere zlatnog reza. Više o proporcijama ljudskog lika možete pročitati na poveznici.

Kutak za znatiželjne

Zlatni omjer

U sljedećoj je animaciji definiran zlatni omjer te je provedena konstrukcija niza pravokutnika čije su stranice u zlatnom omjeru. Prvo je nacrtan kvadrat.

Provedite sami konstrukciju niza pravokutnika kao u animaciji. Dokažite da su duljine stranica dobivenih pravokutnika u omjeru zlatnog reza. Opišite kako se konstruira zlatna spirala.

Povezani sadržaji

Piet Mondrian: Kompozicija u crvenom, žutom, plavom i crnom
Piet Mondrian: Kompozicija u crvenom, žutom, plavom i crnom

Različita su mišljenja o postojanju zlatnog omjera u djelima Pieta Mondriana jer su preplavljena horizontalnim i vertikalnim linijama. Proučite neka Mondrianova platna i komentirajte ima li zlatnog reza ili su to neki drugi omjeri.

Postotci

Fotografija prikazuje plakat u izlogu sa postotkom sniženja.

Sigurno ste u izlogu trgovine vidjeli ovakve natpise.

Što taj natpis predstavlja? Znate li izračunati sniženu cijenu?

Postotak je razlomak s nazivnikom 100 .

p % = p 100

Postotak označava koliko jedinica jedne veličine dolazi na 100 jedinica iste veličine.

Ilustracija prikazuje kvadratnu mrežu 10x10 s 15 obojanih kvadratića.

Dana je kvadratna mreža 10 × 10 . Koliko ta mreža ima kvadratića? Koliko je jedinica obojeno na 100 jedinica kvadratne mreže?

Od  100 jedinica kvadratne mreže obojeno je 15 jedinica, znači obojeno je 15 100 , odnosno 15 % površine početnog kvadrata.


Zadatak 12.

  1. Pronađite pločicu na kojoj piše START. Postavite ju kao prvu pločicu. Nađite pločicu na kojoj je zapis postotka koji odgovara grafičkom prikazu postotka s prve pločice. Postavite ju kao drugu pločicu. Nastavite tako sve dok ne dođete do pločice na kojoj piše KRAJ.  

    • U zadatku treba zapis postotka povezati s odgovarajućim grafičkim prikazom postotka, tj. odrediti koji postotak mnogokuta je obojan.



       ​
    • U zadatku treba zapis postotka povezati s odgovarajućim grafičkim prikazom postotka, tj. odrediti koji postotak mnogokuta je obojan.



       ​
    • U zadatku treba zapis postotka povezati s odgovarajućim grafičkim prikazom postotka, tj. odrediti koji postotak mnogokuta je obojan.


       
    • U zadatku treba zapis postotka povezati s odgovarajućim grafičkim prikazom postotka, tj. odrediti koji postotak mnogokuta je obojan.


       ​
    • U zadatku treba zapis postotka povezati s odgovarajućim grafičkim prikazom postotka, tj. odrediti koji postotak mnogokuta je obojan.


       
    null
    null
  2. Nastavite niz.  

    • U zadatku treba zapis postotka povezati s odgovarajućim grafičkim prikazom postotka, tj. odrediti koji postotak mnogokuta je obojan.
       

    • U zadatku treba zapis postotka povezati s odgovarajućim grafičkim prikazom postotka, tj. odrediti koji postotak mnogokuta je obojan.

       ​
    • U zadatku treba zapis postotka povezati s odgovarajućim grafičkim prikazom postotka, tj. odrediti koji postotak mnogokuta je obojan.


    • U zadatku treba zapis postotka povezati s odgovarajućim grafičkim prikazom postotka, tj. odrediti koji postotak mnogokuta je obojan.
       

    • U zadatku treba zapis postotka povezati s odgovarajućim grafičkim prikazom postotka, tj. odrediti koji postotak mnogokuta je obojan.

       ​
    null
    null

Zadatak 13.

Riješite koristeći se džepnim računalom.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 14.

U pretprodaji je cijena ulaznice za koncert 220 kuna. Koliko će stajati ulaznica na dan koncerta ako bude 25 % skuplja?

275 kuna


Zadatak 15.

Na izborima za predsjednika Republike Hrvatske 2015. godine glasovalo je 2 258 887   birača, a nevaljanih je glasačkih listića bilo 60 728 . Koji je bio postotak valjanih glasačkih listića?

97.3 %


Zadatak 16.

Pacijentica je primila lijek i njezin ga organizam postupo razgrađuje. Sat nakon uzimanja samo 57 % lijeka ostaje aktivno. Analizom je utvrđeno da količina aktivnog lijeka u krvi pacijentice sat nakon uzimanja iznosi 171 mg . Kolika je bila početna doza lijeka?

300 mg


Primjer 2.

Fotografija prikazuje svježe grožđe.

Udjel je vode u svježem grožđu 84 % , a u suhim grožđicama 27 % . Od koje se količine svježega grožđa dobije 2 kg suhih grožđica?

Suhe grožđice sadržavaju 27 % vode, što znači da 73 % čini suha tvar. Masa suhe tvari u 2 kg suhih grožđica iznosi

73 % · 2 = 0.73 · 2 = 1.46 kg .

Tih 1.46 kg suhe tvari čini 16 % svježega grožđa. Neka je x masa svježega grožđa. ​

Slijedi:

16 % · x = 1.46  

0.16 · x = 1.46

x = 9.125.

Za 2 kg suhih grožđica potrebno je 9.125 kg svježega grožđa.

Cijena nekoga proizvoda prvo je povećana za 15 % pa nakon toga snižena za 15 % . Mislite li da je cijena ista kao na početku? Objasnite.

Cijena je 2.25 % manja.


Slijedi detaljno objašnjenje sličnog problema.

Urod se maslina jedne godine povećao za 20 % , a sljedeće se godine smanjio za 25 % . Kako se promijenio urod maslina u te dvije godine? ​

Zadatak 17.

Popust na cijenu uredskog stola koji je izložen u salonu namještaja iznosi 30 % . Pri gotovinskom plaćanju odobrava se dodatni popust od 5 % . Koliko je ukupno snižena cijena stola?

null
null

Zadatak 18.

Glačanjem će se vuneni šal pravokutna oblika produljiti za 4 % , a po širini smanjiti za 2 % . Površina šala će se  za % .
null
null

Zadatak 19.

Nevenov i Tinov tjedni džeparac razlikuje se za 10 kuna. Tri četvrtine Nevenova džeparca jednako je 80 % iznosa Tinova džeparca. Koliko iznosi Nevenov džeparac?

Nevenov je džeparac 160 kuna.


Zadatak 20.

Na ispitu je učenik točno odgovorio na 15 pitanja od prvih 20 . U sljedećim je pitanjima točno odgovorio na 30 % pitanja. Za svaki je točan odgovor dobio po jedan bod i na ispitu je imao 60 % od ukupnoga broja bodova. Koliko je bilo ukupno bodova na ispitu?

30 bodova


Kutak za znatiželjne

Budući da su zlato i srebro mekane plemenite kovine, za postizanje veće tvrdoće potrebne za kovanje i uporabu miješaju se s drugim metalima, najčešće s bakrom. Omjer između mase čiste kovine i mase smjese naziva se finoća, a izražava se promilima.

Promil označava koliko jedinica jedne veličine dolazi na 1 000 jedinica iste veličine, odnosno promil je razlomak s nazivnikom 1 000 .

  p = p 1 000

Primjer 3.

Odredimo finoću kovine ako 2.5 kg smjese sadržava 2 kg srebra.

f = 2 2.5 · 1 000 = 800

Zadatak 21.

Koliko grama čistog zlata sadržava zlatni predmet mase  700 g ako je finoća 600 ?

420 g


Kutak za znatiželjne

Pronađite još neke praktične primjene promila.

Aritmetička sredina

Aritmetička sredina ili prosjek x ¯ za neki konačan skup brojeva S = { x 1 , x 2 , x 3 , . . . x n } računa se kao količnik zbroja članova toga skupa brojeva i broja članova toga skupa, odnosno

x ¯ = x 1 + x 2 + x 3 + + x n n .

Zadatak 22.

Provjerite.

  1. Aritmetička sredina brojeva 12 i 23 iznosi 17.5 .

    null
    null
  2. Aritmetička sredina brojeva 8 i 32 iznosi 24 .

    null
    null
  3. Aritmetička sredina brojeva - 15   i 10 iznosi - 12.5 .

    null
    null
  4. Aritmetička sredina brojeva - 5 i 5 iznosi 0 .

    null
    null

Primjer 4.

Aritmetička sredina osam brojeva iznosi 6 . Ako tomu skupu brojeva dodamo 15 i x , aritmetička će sredina biti 7 . Koliko iznosi x ?

Označimo sa Z zbroj početnih osam brojeva zadanog skupa. Tada je

Z 8 = 6 , odnosno Z = 48 .

Nadalje,

Z + 15 + x 10 = 7

48 + 15 + x = 70

x = 7 .

Zadatak 23.

Riješite.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 24.

Aritmetička sredina 40 brojeva, među kojima su i brojevi 52 i 58 , iznosi 36 . Ako iz tog skupa brojeva ispustimo brojeve 52 i 58 , kolika će biti aritmetička sredina preostalih brojeva?

35


Zadatak 25.

Fotografija prikazuje biciklista.

Biciklist je četvrtinu vremena vozio prosječnom brzinom od 25 km/h , a ostatak je vremena vozio prosječnom brzinom od 20 km/h . Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu?

21.25 km/h


Zadatak 26.

Prosječna je masa jabuka u skladištu 163 g , a prosječna je masa krušaka 156 g . Ako prosječna masa jabuka i krušaka iznosi 160.2 g , koliki je omjer količine jabuka i količine krušaka u skladištu?

Omjer količine jabuka prema količini krušaka je 3 : 2 .


...i na kraju

Ponovite pojmove koje smo spomenuli i opišite ih.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Uparite elemente.

razmjer
2 : 6 : 11
aritmetička sredina
3 + 5 + 2 + 5 4  
produženi omjer
3 : 7
omjer
23 100  
postotak
x : y = 3 : 4
null
null
2

Omjer polumjera kružnice i njezina opsega jednak je r : o = 2 : π .

null
null
3

Ako 24 % nekoga broja iznosi 165.6 , tada 52 % istoga broja iznosi 358.8 .

null
null
4

12 % od 30 je isto kao 30 % od 12 ?

null
null
5

Na akcijskoj su prodaji cijene u jednoj trgovini snižene 10 % . Ako se nakon završetka akcijske prodaje cijene povećaju 10 % , hoće li se vratiti na iznose prije sniženja?

null
null
6

Aritmetička sredina pet uzastopnih prirodnih brojeva jednaka je 20 . Najveći je od tih brojeva 23 .

null
null
7

Koliko je 30 % od 400 ?

null
null
8

Cijena je flaute s 4 271.03 kune snižena na 4 057.47 kune. Koliko posto iznosi popust?

null
null
9

Zapišite 40 % u obliku razlomka.

null
null
10

Aneta, Eva i Sanja pisale su knjigu. Aneta je radila tri puta dulje nego Eva i dva puta kraće nego Sanja. Zaradu će podijeliti u omjeru a : e : s = : :

null
null
11

Ako aritmetička sredina uzorka od  mjerenja iznosi  i aritmetička sredina uzorka od 10 mjerenja iznosi , tada aritmetička sredina obaju uzoraka iznosi 18.2 .

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU