x
Učitavanje

1.4 Računske radnje na skupu realnih brojeva

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika ilustrira moždane aktivnosti tijekom mentalnih vježbi
Mentalno računanje – motivacija, Licencija: Attribution-ShareAlike 2.0 Generic (CC BY-SA 2.0). Izvor: www.flickr.com. Autor: Silver Blue

Znanstvena su istraživanja u proteklih desetak godina otkrila da mentalne vježbe mogu poboljšati rad mozga i potaknuti stvaranje novih veza između moždanih stanica, što pridonosi jačanju kognitivnih sposobnosti. Mentalnom se aritmetikom vježbaju pozornost i koncentracija te kreativno i logično razmišljanje.

Zadatak 1.

Mentalnim računanjem, bez uporabe džepnog računala, izračunajte i uparite zadatak s rješenjem.  

1.1 - 0.8 =  
4  
 
0.07 + 1.2 =   ​
40   ​
1.2 : 0.03 =   ​
0.36   ​
0.01 · 1.9 =   
0.019   ​
1.2 · 0.3 =  
1.27   ​
3.6 : 0.9 =   ​
0.3   ​
null
null

Pri računanju koristili ste se nekim pravilima za računske radnje zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja decimalnih brojeva. Na što treba paziti pri zbrajanju i oduzimanju decimalnih brojeva? Kako najlakše množiti decimalne brojeve? Koji je prvi korak pri dijeljenju decimalnim brojem?

U zbrajanju ili oduzimanja decimalnih brojeva treba paziti da se zbrajaju odgovarajuća dekadska i decimalna mjesta, na primjer stotice sa stoticama, desetinke s desetinkama itd.

Decimalne brojeve množimo tako da prvo zanemarimo decimalna mjesta i pomnožimo ih kao cijele brojeve. Broj decimalnih mjesta umnoška bit će jednak ukupnom broju decimala obaju faktora.

Pri dijeljenju decimalnim brojem najprije pomaknemo decimalne točke udesno i u djeljeniku i u djelitelju za onoliko mjesta koliko je potrebno da djelitelj postane prirodni broj.


Zaokruživanje realnih brojeva

Često se pri rješavanju problema dogodi da rezultat računanja nije egzaktan, to jest ne možemo ga precizno zapisati ili nam egzaktna vrijednost nije nužna. Katkad je dovoljno rezultat zapisati na najbližu desetinku, stotinku ili slično, ovisno o kontekstu zadatka.

Povezani sadržaji

Podsjetimo se. Brojeve smo učili zaokruživati na desetice, stotice, tisućice…

Na primjer, broj 2 527 zaokružen na deseticu je 2 530 , a zaokružen na stoticu je 2 500 .

Koliko iznosi taj broj zaokružen na tisućicu?

3 000


Zadatak 2.

Zadani decimalni broj zaokružite na traženi broj decimala.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 3.

Koji je broj mogao biti zaokružen na 15.23 ?

Bilo koji realni broj veći ili jednak 15.225 i manji od 15.235 .


Zadatak 4.

Racionalni broj s trima decimalama zaokružen je na 10.3 . Koja je najmanja, a koja najveća vrijednost toga broja?

Najmanja je vrijednost 10.250 , a najveća je vrijednost 10.349 .


Kada računamo s racionalnim i iracionalnim brojevima, rezultati se, ovisno o načinu na koji zaokružujemo, mogu dosta razlikovati. Pogledajmo.

Primjer 1.

Izračunajmo vrijednost izraza 7.953 + 10.074 24.9 - 15.7 i rezultat zaokružimo na dvije decimale.

Računat ćemo na dva načina.

Prvo ćemo zadani izraz upisati u džepno računalo i tek nakraju rezultat zaokružiti na dvije decimale:

7.953 + 10.074 24.9 - 15.7 = 5.94 .

Sada ćemo računati tako da svaki međurezultat zaokružimo na dvije decimale:

7.953 + 10.074 24.9 - 15.7 = 18.03 3.03 = 5.95 .

Rezultati se razlikuju za 0.01 , što nam se ne mora činiti velikom razlikom.

Riješite sljedeći zadatak na oba načina, bez zaokruživanja međurezultata i sa zaokruživanjem međurezultata na dvije decimale.

Zadatak 5.

Gustoća srebra je 10.49 g cm 3 . Ako je 1 oz = 28.35 g , a 1 in = 2.54 cm , kolika je gustoća srebra u oz in 3 ? Rezultat zaokružite na dvije decimale. Što zamjećujete?

Ako se koristimo džepnim računalom bez zaokruživanja međurezultata:

10.49 g cm 3 = 10.49 · 1 28.35 oz 1 2.54 3 in 3 = 6.06 oz in 3 .

Zaokružujemo li međurezultate na dvije decimale:

10.49 g cm 3 = 10.49 · 1 28.35 oz 1 2.54 3 in 3 = 10.49 · 0.04 oz 0.39 3 in 3 = 10.49 · 0.04 oz 0.06 in 3 = 10.49 · 0.67 oz in 3 = 7.03 oz in 3 .

Ovdje je razlika 0.97 , što nije zanemarivo. Naravno, još ovisi i o kontekstu zadatka.


Dakle, preporučuje se koristiti se džepnim računalom i ne zaokruživati podatke tijekom računanja.

Ako se u zadatku traži zaokruživanje na određeni broj decimala, misli se na konačan rezultat. Međurezultati se u tome slučaju mogu zaokruživati na dvije decimale više od traženog rezultata.

Riješite prethodne zadatke uz zaokruživanje međurezultata na četiri decimale i provjerite razlike u rezultatima.

Zaokruživanje na značajne znamenke

Bez obzira na to koliko precizne mjerne instrumente imamo, veličinu kao što je primjerice duljina ne možemo egzaktno odrediti. Svako je mjerenje zapravo aproksimacija. Mjerenje je korisno ako se u njega možemo pouzdati. Na primjer, izmjerili smo da je neka osoba visoka 173 cm . Taj smo podatak dobili mjerenjem broja metara, broja decimetara i broja centimetara, odnosno sve su tri znamenke dobivene mjerenjem pa kažemo da imamo tri značajne znamenke.

U nekim je podatcima zapisano da Hrvatska ima 4 203 604 stanovnika. Taj podatak ima 7 značajnih znamenki. Takva je točnost malo vjerojatna jer pretpostavlja da smo brojili svakog stanovnika Hrvatske, što je praktički nemoguće. S obzirom na stalne promjene u broju stanovnika, pouzdanije je reći da Hrvatska ima 4 204 000 stanovnika, što je točnost na 4 značajne znamenke.  

Slika prikazuje gustoću stanovništva na karti Hrvatske
Gustoća naseljenosti Hrvatske

Prva značajna znamenka u nekome broju prva je znamenka različita od nule, gledajući slijeva nadesno.

Druga značajna znamenka sljedeća je znamenka broja, uključujući nulu, ako iza nje slijedi znamenka različita od nule itd.

Nule se na kraju broja zanemaruju osim ako nisu iza decimalne točke.

Na primjer, brojevi 31.7 , 0.0529 i 1.80 imaju tri značajne znamenke.

Zadatak 6.

Provjerite!

  1. Broj 312 000 ima 3 značajne znamenke.

    null
    null
  2. Broj 5 207 ima 3 značajne znamenke.

    null
    null
  3. Broj 935.10 ima četiri značajne znamenke.

    null
    null
  4. Broj 0.005006 ima četiri značajne znamenke.

    null
    null

Primjer 2.

Kako brojeve zaokružujemo na značajne znamenke? Pogledajte.

Povećaj ili smanji interakciju

Uočavate li pravilo prema kojem se broj zaokružuje na značajne znamenke? Opišite ga.

Provjerite "svoje" pravilo o zaokruživanju na značajne znamenke.

Pravilo je slično zaokruživanju na decimale, jedino što u zaokruživanju na decimale odbrojavamo od prvoga decimalnog mjesta, desetinke, a u zaokruživanju na značajne znamenke odbrojavamo od prve značajne znamenke.

Primjer 3.

Broj 2.352 zaokružen na 3 značajne znamenke je 2.35 .

Broj 4.298 zaokružen na 3 značajne znamenke je 4.30 .

Broj 8 251 zaokružen na 3 značajne znamenke je 8 250 .

Zadatak 7.

Zaokružite sljedeće brojeve na zadani broj značajnih znamenaka.

  1. 1.248 na 3 značajne znamenke
  2. 0.512 na 2 značajne znamenke
  3. 21.978 na 3 značajne znamenke
  4. 739.51 na 2 značajne znamenke
  1. 1.25
  2. 0.51
  3. 22.0
  4. 740

Procjena

U nekim je situacijama potrebno rezultat smisleno procijeniti i aproksimirati, odlučiti kada je procjenu ili aproksimaciju prikladno upotrijebiti te vrednovati smislenost rezultata. Pri procjeni moramo paziti na veličinu i na jedinicu te veličine. Znamo da je, na primjer, prosječna visina petnaestogodišnjaka oko 170 cm , duljina osobnog automobila oko 2 m itd. ​

Zadatak 8.

Koji su od ponuđenih odgovora mogući? Možete odabrati i više točnih odgovora.

  1. Težina je novorođenog djeteta:

    null
    null
  2. Duljina je odrasloga plavog dupina:

    null
    null
  3. Širina je rijeke Save:

    null
    null
  4. Brzina je geparda:

    null
    null

Zadatak 9.

Čemu je približno jednako 0.436 · 1.72 ?

  1. 7.5
  2. 0.75
  3. 0.075

b.


Zadatak 10.

Fotografija prikazuje otvorenu knjigu.

Knjiga debljine 2.5 cm ima 489 stranica. Procijenite debljinu lista papira.

Knjiga ima 489 stranica, što znači da sadržava oko 250 listova papira pa je debljina lista papira otprilike 0.1 mm .


Tehnologija nas okružuje i pomaže pri rješavanju problema. Složene ćemo račune brže riješiti koristeći se džepnim računalom. No, dogodi se da pritisnemo krivu tipku pa dolazi do greške. Zato je važno naučiti procijeniti rezultat, odnosno red veličine rezultata prije točnog računanja. Ako se procjena i rezultat znatno razlikuju, to nam govori da smo pogriješili ili u procjeni ili u računanju.

Primjer 4.

Procijenimo vrijednost izraza 17.092 - 8.05 4.15   uz zaokruživanje brojeva na 1 značajnu znamenku .

17.093 - 8.05 4.15 20 - 8 4 10 4 2 .

Izračunajte s pomoću džepnog računala i usporedite. Jesmo li napravili dobru procjenu?

S pomoću džepnog računala dobivamo rezultat 2.179 zaokružen na 3 decimale, dakle procjena je bila dobra.


Zadatak 11.

Procijenite vrijednosti sljedećih izraza uz zaokruživanje brojeva na 1 značajnu znamenku.

  1. 66.63 · 29.7 94.3
  2. 5.38 + 4.72 4.15 · 0.719
  3. 2.69 2 + 7.09 2 2.69 · 7.09
  4. 9.7 · 0.78 + 10.3 · 2.9 2 3
  1. 20
  2. 3
  3. 3
  4. 40

Zadatak 12.

Procijenite vrijednost izraza T = 2 π l g ako je l = 87.3 , g = 9.81 .

T 18


Rad s džepnim računalom

Fotografija prikazuje džepno računalo.

Na različitim džepnim računalima postoje različite tipke za iste radnje. Da bismo se učinkovito služili džepnim računalom, potrebno ga je dobro proučiti i pročitati upute za uporabu.

Budući da zaokruživanjem međurezultata gubimo točnost rješenja, najbolje je da u računanju upotrebljavamo njihove vrijednosti s džepnog računala i da ne utipkavamo zaokružene međurezultate.

Vrlo su korisne tipke za spremanje podataka STO , za prikaz broja iz memorije RCL , za ispis zadnjeg rezultata 2 nd   ANS i slično.

Uz to, možemo upotrijebiti zagrade i mogućnost upisivanja razlomaka, gdje je to omogućeno, te tako cijeli račun provesti direktno na džepnom računalu.

Primjer 5.

Izračunajte vrijednost izraza 15 - 8 9 + 5 .

Jedan je od mogućih načina utipkavanje sljedećeg niza u džepno računalo:

( 1 5 - 8 ) ÷ ( 9 + 5 ) =  

Rješenje je 0.5 .

Zadatak 13.

Koristeći se džepnim računalom, bez olovke i papira, izračunajte i rezultat zaokružite na tri značajne znamenke. Upišite dobivene vrijednosti na odgovarajuća mjesta.

Povećaj ili smanji interakciju

Povezani sadržaji

Ilustracija prikazuje ljudske figure različitih debljina.

Indeks tjelesne mase koristi se kao pokazatelj stupnja uhranjenosti osobe. Predstavlja omjer tjelesne mase u kilogramima i kvadrata tjelesne visine u metrima.

  1. Koliki je indeks tjelesne mase osobe kojoj je masa 57 kg i koja je visoka 168 cm ? Rezultat zaokružite na cijeli broj. ​
  2. Osoba visoka 194 cm ima indeks tjelesne mase 23 (zaokružen na cijeli broj). Izračunajte interval u kojem se nalazi njezina tjelesna masa.
  3. Osoba mase 64 kg ima indeks tjelesne mase 22 (zaokružen na cijeli broj). Izračunajte interval u kojem se nalazi njezina visina.
  1. 20
  2. veći ili jednak 84.681 kg i manji od 88.4446 kg
  3. veći ili jednak 168.7 cm i manji ili jednak 172.5 cm .

Kutak za znatiželjne

Gdje je pogreška?

Koristeći se džepnim računalom izračunajte 123 · 123 + 10 - 123 · 123 . Koji ste rezultat dobili?

Izračunajte 1 234 · 1 234 + 10 - 1 234 · 1 234 . Koji ste rezultat dobili?

Ponavljajte postupak dopisujući faktorima znamenku 5 ,   6 itd. Što zamjećujete? Možete li objasniti?

Džepno računalo može zapamtiti 10 znamenki. Provjerite na svojemu džepnom računalu. Veće brojeve zaokružuje na 10 značajnih znamenki. Kada velikom broju zaokruženom na 10 značajnih znamenki dodamo broj 10 , računalo ga ne registrira te u sljedećem koraku oduzme početni broj. Zato je rezultat jednak 0 .


Kutak za znatiželjne

Koristeći se džepnim računalom izračunajte zbrojeve.

  1. 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + . . . + 1 999 · 1 000 + 1 1 000 · 1 001 =
  2. 1 1 · 3 + 1 3 · 5 + 1 5 · 7 + . . . + 1 997 · 999 + 1 999 · 1 001 =
  3. 1 2 · 5 + 1 5 · 8 + 1 8 · 11 + . . . + 1 995 · 998 + 1 998 · 1 001 =
  4. 1 1 + 2 + 1 2 + 3 + 1 3 + 4 + . . . + 1 899 + 900 =

Uputa: Računajte zbroj prvih dvaju članova, prvih triju članova sve dok ne uočite pravilnost. Na džepnom računalu koristite se i opcijom pretvaranja rezultata u razlomak.

  1. Uočivši da je rezultat razlomak kojemu se brojnik povećava od 1 nadalje, a nazivnik je za 1 veći od brojnika, dolazimo do zbroja 1 000 1 001 .
  2. Brojnik kreće od 1 i povećava se za 1 , a nazivnik od 3 i povećava se za 2 . Zbroj je 500 1 001 .
  3. 333 2 002
  4. 29

...i na kraju

Provjerite naučeno!

Povećaj ili smanji interakciju

Idemo na sljedeću jedinicu

1.5 Apsolutna vrijednost realnog broja