x
Učitavanje

1.3 Realni brojevi i brojevni pravac

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Broj je decimalan pa nije ni prirodni ni cijeli. Ima beskonačni decimalni prikaz, ali znamenke se pojavljuju nasumično, nema skupine znamenki koja se periodično ponavlja. Racionalni brojevi s beskonačnim decimalnim zapisima su periodični. Zato taj broj nije racionalan. Vidimo da postoje brojevi koji nisu racionalni. Nazivamo ih iracionalni brojevi.


Iracionalni i realni brojevi

Broj je iracionalan ako ima beskonačan neperiodični decimalni zapis.

Zadatak 1.

Odgovorite na pitanja o decimalnom zapisu iracionalnoga broja.

  1. Ako je broj iracionalan, njegov je decimalni zapis beskonačan.

    null
    null
  2. Ako je broj iracionalan, u njegovu decimalnom zapisu nema skupine znamenki koja se periodično ponavlja.

    null
    null
  3. Ako je broj iracionalan, u njegovu decimalnom zapisu nema pravilnosti.

    null
    null

Zadatak 2.

Je li broj 0.102030405060708090100110120130 iracionalan? Iza decimalne točke nižu se prirodni brojevi, a između dvaju susjednih prirodnih brojeva je 0.

Da. Ne postoji period koji se ponavlja.


Iracionalni broj ne može se zapisati u obliku razlomka m n , m Z , n N .

Ako se broj može zapisati u obliku razlomka m n , m Z , n N , onda je taj broj racionalan. Racionalni brojevi imaju ili konačne ili beskonačne periodične decimalne zapise.


Na slici je prikazan skup realnih brojeva i njegovi podskupovi.

Realni broj je onaj koji je racionalan ili iracionalan. Skup realnih brojeva označavamo s R .

Zadatak 3.

U kakvu su odnosu skupovi realnih, racionalnih i iracionalnih brojeva? Dopunite.

 Skup realnih brojeva je  skupa  i skupa  brojeva.
null
null

Racionalne brojeve možemo zapisati u razlomačkom ili u decimalnom zapisu. Oba su zapisa jednostavna, čak i ako je riječ o beskonačnom zapisu jer je on periodičan pa je dovoljno zapisati period. Kako zapisati iracionalni broj? Kako računati s iracionalnim brojevima?

Iracionalni brojevi imaju beskonačne neperiodične zapise. Zato pri zapisivanju i računanju s iracionalnim brojevima upotrebljavamo posebne oznake za neke od njih, zapisujemo ih s pomoću nekih matematičkih radnji ili zamjenjujemo približnim vrijednostima. Približna vrijednost iracionalnog broja je broj s konačnim decimalnim zapisom koji se u cjelobrojnom i decimalnom dijelu podudara s cjelobrojnim dijelom i početnim decimalama iracionalnoga broja.

Zadatak 4.

Na slici je krug. Čemu je jednak omjer opsega kruga i polumjera?

Poznajete li posebnu oznaku za neki iracionalni broj?

Posebnom se oznakom zapisuje broj π = 3.141592654


Iracionalni brojevi i korijeni

Jednu grupu iracionalnih brojeva čine oni koji se mogu zapisati s pomoću korijena. Takav je, na primjer, broj 2 . Iracionalnost broja 2 uočili su Pitagorejci. U videu pogledajte dokaz iracionalnosti broja 2 .

Zadatak 5.

Dokažite da je 3 iracionalan.

Pretpostavimo da je 3 racionalan. To znači da postoje prirodni brojevi m i n za koje vrijedi da je

3 = m n .

Odaberimo brojeve m i n tako da je razlomak m n potpuno skraćen. Kvadriranjem dobivamo

3 n 2 = m 2

iz čega zaključujemo da je broj m 2 djeljiv s 3 . Ako je m 2 djeljiv s 3 , onda je i m djeljiv s 3 pa zapisujemo

m = 3 k , k N .

Uvrštavanjem dobivamo

3 n 2 = ( 3 k ) 2

3 n 2 = 9 k 2

n 2 = 3 k 2 .

Ponovno možemo zaključiti da je broj n 2 djeljiv s 3 . Ako je n 2 djeljiv s 3 , onda je i n djeljiv s 3 . Zaključili smo da su m i n djeljivi s 3 , što znači da razlomak m n nije skraćen do kraja. To je nemoguće jer razlomak uvijek možemo skratiti do kraja.

Pogrešna je početna pretpostavka da je 3 racionalan pa zaključujemo da je iracionalan.


Zadatak 6.

Je li broj 4 iracionalan? Zašto? Pokušajte dokazati da je iracionalan na isti način kao u prethodnom zadatku. Koji od zaključaka ne vrijedi?

Broj 4 jednak je 2 pa je racionalan. Uz oznake kao u prethodnom zadatku, iz činjenice da je broj m 2 djeljiv s 4 , ne možemo zaključiti da je i m djeljiv s 4 . Na primjer, 6 2 = 36 je djeljiv s 4 , ali 6 nije.


Zadatak 7.

Za koje je prirodne brojeve n broj n iracionalan? Dopunite.

Ako je n kvadrat prirodnog broja, n   je broj. Ako n  nije kvadrat prirodnog broja, n   je broj.
null
null

Zadatak 8.

Skup racionalnih brojeva zatvoren je s obzirom na zbrajanje i množenje. Što možemo reći o zbroju i umnošku dvaju iracionalnih brojeva? A o zbroju i umnošku racionalnoga i iracionalnoga broja?

  1. Zbroj racionalnog i iracionalnog broja je:

    null
    null
  2. Zbroj dvaju iracionalnih brojeva je:

    null
    null
  3. Umnožak iracionalnih brojeva je:

    null
  4. Umnožak racionalnog broja različitog od 0 i iracionalnog broja je:

     

    null

Zadatak 9.

Dokažite tvrdnje iz prethodnog zadatka.

Zadatak 10.

Dovucite zadane elemente na pravo mjesto.

27 3

Racionalni brojevi

Iracionalni brojevi

null
null

Realni brojevi i brojevni pravac

Realne brojeve prikazujemo na brojevnom pravcu. Racionalne brojeve možemo precizno prikazati.

Zadatak 11.

Prikažite zadani racionalni broj na brojevnom pravcu.

Povećaj ili smanji interakciju

Iracionalne brojeve možemo prikazati tako da odredimo približnu vrijednost iracionalnoga broja. Na primjer 7 = 2.6457513 2.6 .

Zadatak 12.

Prikažite približno zadane iracionalne brojeve na brojevnom pravcu.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 1.

Neke iracionalne brojeve možemo prikazati precizno. Pogledajte animaciju koja prikazuje prikaz broja 2 na brojevnom pravcu.

Povećaj ili smanji interakciju

Povezani sadržaji

Na slici je spirala drugog korijena.
Spirala drugog korijena

Grčki matematičar Theodorus pokazao je kako konstruirati dužinu duljine n , n N . Jeste li čuli za spiralu drugog korijena? Na papiru napravite konstrukciju s jednakokračnim pravokutnim trokutom čije su katete duljine 1 . Hipotenuza tog trokuta, duljine 2 , kateta je idućega pravokutnog trokuta. Druga je kateta duljine 1 pa će hipotenuza drugog trokuta biti duljine 3 . Postupak nastavite. Ukrasite svoju spiralu.


Kutak za znatiželjne

U matematici se tvrdnje dokazuju. Katkad postoji više načina kako dokazati neku tvrdnju. Znate li neku tvrdnju koju možete dokazati na različite načine? U ovoj smo jedinici dokazali iracionalnost broja 2 . Jeste li se susreli s drukčijim dokazom?

Još jedan dokaz iracionalnosti broja 2

Kutak za znatiželjne

Na slici je Jednakokračni pravokutni trokut.

Postoji više dokaza iracionalnosti broja 2 . Jedan je od njih geometrijski. Promotrimo jednakokračni pravokutni trokut na slici. Duljine su kateta 1 pa je duljina hipotenuze 2 . Pretpostavimo da je 2 racionalan. Tada ga možemo zapisati u obliku 2 = m n , n N , m N .

Na slici je jednakokračni pravokutni trokut u kojem je nacrtana simetrala šiljastog kuta i okomica na hipotenuzu iz sjecišta simetrale kuta i katete.

Promotrimo trokut A B C čije su duljine stranica n , n , m . Taj je trokut sličan polaznom (zašto?), a duljine su stranica prirodni brojevi.​ Točka D je sjecište simetrale kuta C A B i stranice B C ¯ . Točka​ E je nožište okomice iz točke D na stranicu A B ¯ .  

Zadatak 13.

  1. Uočite slične trokute na slici. Dokažite sličnost. Dokažite da su duljine stranica trokuta BDE prirodni brojevi.

  2. Trokut BDE jednakokračan je pravokutni trokut čije su duljine stranica prirodni brojevi manji od duljina stranica trokuta ABC . Primijenimo isti postupak na trokut BDE . Što vrijedi za novi trokut koji tako nastaje? Nastavimo ponavljati postupak. Objasnite u čemu je proturječnost.

  1. Slični su trokuti ABC i BDE jer imaju jednake kutove. Trokut ABC jednakokračan je pa zaključujemo da je i trokut BDE jednakokračan.

    Označimo C D = q .

    Točka D je na simetrali kuta C A B pa je jednako udaljena od krakova A C i A B .

    Zaključujemo: D E = D C = q . Trokut BDE jednakokračan je pa je i B E = D E = q .

    Označili smo​ A C = n . Tada je i ​ A E = A C = n .

    Vrijedi: q = B E = A B - A E = m - n pa je q prirodni broj.

    Također je B D = n - q prirodni broj pa su duljine stranica trokuta BDE prirodni brojevi manji od duljina odgovarajućih stranica trokuta ABC .

  2. Primijenimo li isti postupak na trokut BDE , dobit ćemo novi trokut čije su duljine stranica prirodni brojevi. Nastavimo li ponavljati postupak, svaki će idući trokut imati stranice čije su duljine manje od duljina odgovarajućih stranica iz prethodnog koraka, ali će sve duljine biti prirodni brojevi. To je nemoguće jer postoji najmanji prirodni broj.


...i na kraju

U ovoj ste jedinici mogli naučiti što su iracionalni i realni brojevi te kako se realni brojevi prikazuju na brojevnom pravcu. U idućim zadatcima provjerite svoje znanje.

  1. Presjek skupova racionalnih i iracionalnih brojeva je prazan.

    null
    null
  2. Svaki je realni broj iracionalan.

    null
    null
  3. Svi iracionalni brojevi elementi su skupa { n : n N , n nije potpun kvadrat}.

    null
    null
  4. Svakoj točki na brojevnom pravcu odgovara jedan realni broj.

    null
    null
  5. Svaki je korijen iz prirodnog broja iracionalan.

    null
    null
  6. Broj s beskonačnim decimalnim zapisom je iracionalan.

    null
    null
  7. Broj prikazan u obliku razlomka nije iracionalan.

    null
    null
  8. Cijeli brojevi nisu realni.

    null
    null
  9. Uparite elemente.

    2 - 7 3
    Racionalan broj
    7 · 28 3
    Iracionalan broj

    null
    null
  10. Poredajte skupove tako da je prethodni podskup sljedećeg.

    • N
    • Z
    • R
    • Q
    null
    null
  11.  Prikažite na brojevnom pravcu broj 5 - 1 .

    Brojevni pravac

    null
    null
  12. Broj prikazan na brojevnom pravcu je:

    Brojevni pravac

    null
    null

Idemo na sljedeću jedinicu

1.4 Računske radnje na skupu realnih brojeva